线性空间

矩阵论学习

线性空间

是什么？

假设 V 是一个非空集合，P 是一个数域。对于任意 x、y、z∈V，如果 V 满足以下条件：
在 V 中定义一个封闭的加法运算：

1. x+y=y+x
2. (x+y)+z=x+(y+z)
3. 存在 0 元素，+0=x
4. 存在负元素，x+(-x)=0

   也就是交换律和结合律，有加法单位元

在 V 中定义一个封闭的数乘运算，即当 λ∈P 时候，有惟一的 λx∈V，且满足:

1. (λ+μ)x=λx+μx
2. λ(x+y)=λx+λy
3. λ(μx)=(λμ)x
4. 1x=x

   也就是分配律，数因子分配律、结合律，有乘法单位元
   这时候，我们说，V 是数域 P 上的一个线性空间。当 P 为实数域时候，V 是实线性空间，
   P 为复数域时候，V 是复线性空间。

理清思路

我们定义线性空间的逻辑是：
有一些满足上述条件的集合，为了描述这些集合，我们称之为线性空间。
就像为了描述生活在华夏大地上的人，我们称之为中国人一样，这是很自然的。

同理，为了描述上述性质中涉及的乘法和加法两种运算，我们称之为“线性运算”。

由此可知，线性空间一定满足上述八个条件。

再次梳理，线性空间的几个特点：

1. 首先，有一个集合。
2. 其次，该集合对定义的加法和乘法运算封闭。
3. 该集合满足上述八个条件

只有满足这三点，该集合才能叫做线性空间。

基，维数，坐标

有了上面的线性空间定义后，我们先要明确，无论定义多么复杂，
线性空间本质是一个集合 ，然后才是该集合满足某些性质使他构成线性空间。

那么对于一个由有限个向量构成的集合，总不能满足构成线性空间。因为无法满足运算的封闭性，即违背了上述条件 2。

因此，一般线性空间都有无穷多个向量。我们的问题是，能否从这无穷的多个向量中，找到几个有代表性的向量，使得线性空间中的任何一个向量都可以用这几个代表性的向量来表示？

为了回答这个问题，需要先定义线性空间中，向量组的线性相关等基本概念。

线性组合概念

设\(x_1,x_2,...,x_m\)是线性空间\(V\)中的\(m\)个向量，\(k_1,k_2,...,k_m\)是数域\(P\)中的\(m\)个数，则称

\[x=k_1x_1+k_2x_2+...+k_mx_m \tag1 \]

为向量\(x_1,x_2,...,x_m\)的一个线性组合。

线性相关概念

如果(1)中的 k 不全为 0，且 x=0.则称这个 m 个向量线性相关。
由(1)可知，如果\(x_1...x_m\)中，有任意一个为\(\vec{0}\)，则这 m 个向量线性相关。

同时线性相关也意味着，至少有一个向量可由其他向量表示。
反之，若每一个向量都不能用其他向量表示，则这 m 个向量线性无关。

亦有以下命题成立：

1. 若 V 中向量组的一组子向量线性相关，则该向量组整体线性相关。
2. 若 V 中某向量组线性无关。则其任意一组子向量也线性无关。

   该条不太直观。换个理解方式：若 V 中的一个向量组线性无关，也就是说，用任意 n-1 个向量都不能表示另一个向量。那么用 n-k 个向量(子向量组)就更不能表示另一个向量了。

有了以上内容，我们就可以讨论什么是“基”了。

若 V 是实数域 P 上的一组向量集合，\(x_1,x_2,...,x_n\)是 V 中一组线性无关的向量，且 V 中任一向量都可由\(x_1,x_2,...,x_n\)线性表示，则称\(x_1,x_2,...,x_n\)是 V 的一组基。

如果 V 中有 n 个基向量，则该线性空间的维数为 n，被称为 n 维线性空间。

什么是 坐标

给定了一组基向量\(x_1...x_n\)，则 V 中任意一个向量 x 都可以表示为这组基向量的线性组合。

\[x=k_1x_1+k_2x_2+...+k_nx_n \]

其中，有序数组\(k_1,k_2,...,k_n\)称为 x 在基\(x_1...x_n\)下的坐标。

常见的笛卡尔坐标系下的坐标，是二维单位正交基下的一种特殊形式

同一向量在不同基（或坐标系）下的坐标不同。

习题例子：

试求由向量:

\[{α_1=\begin{pmatrix}1\\3\\1\\1\end{pmatrix}, α_2=\begin{pmatrix}4\\9\\5\\4\end{pmatrix}, α_3=\begin{pmatrix}3\\7\\4\\5\end{pmatrix}} \]

构成的\(R^4\)子线性空间的基和维数。

\(R^4\)的意思是每个向量有 4 维。

解：首先，子空间是一个集合。其次，该集合对加法
和数乘运算封闭。这里要求的就是该集合。以及集合
中向量的个数。

线性空间的基，是一组线性无关向量。因此要求一组
向量线性无关。

设$$k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=0$$
解方程得:

\[k_2=2k_1, k_3=-3k_1 \]

不妨让\(k_1=1\)，于是有:

\[k_2=2,k_3=-3 \]

代入，则有:

\[α_1+2α_2-3α_3=0 \]

因此，题中所给三个向量是线性相关的。
又因为任意两个向量直接无倍数关系，因此任意两个向量线性无关。
因此生成子空间维数为 2，即二维线性空间，基是\(α_1,α_2\)。

线性空间中的维数公式:

\(V_1\)是\(V\)的子空间，\(V_2\)是\(V\)的子空间，则有：

\[dim(v_1)+dim(v_2)=dim(v_1+v_2)+dim(v_1 \cap v_2) \]