重修微积分1

算术平均数 (AM)

算术平均数是最常见的平均数计算方式，适用于大多数情况下的平均值计算。

• 公式:
  \(AM = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)
• 描述: 所有数值加总后除以数值的数量。

几何平均数 (GM)

几何平均数主要用于计算比率或比例的平均值，特别适用于连续增长的数据。

• 公式:
  \(GM = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}\)
• 描述: 所有数值乘积的 \(n\) 次方根，其中 \(n\) 是数值的数量。

调和平均数 (HM)

调和平均数主要用于计算速率或效率的平均值，特别适用于涉及倒数的情况。

• 公式:
  \(HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\)
• 描述: 各数值倒数的算术平均数的倒数。

关系

根据不等式理论，对于任意一组正实数 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，以下不等式总是成立的：

\(HM \leq GM \leq AM\)

下确界理论：

任何有下界的数集都有下确界