dp和dfs的区别与联系

核心思想的区别

DFS (Depth-First Search)本质：暴力枚举。

它像走迷宫，选一条路一直走到黑（递归到底），如果没有路了，就回退一步（回溯），换一条路再走。
关注点：过程。
它关注“我现在怎么走？下一步去哪？”挖地雷中的DFS：比如从地窖1出发，先试 \(1 \to 2 \to 4\)，算出总数；然后回溯到2，试 \(1 \to 2 \to 5\)... 它会把所有可能的路线都跑一遍。

DP (Dynamic Programming)本质：递推与复用。

它把大问题拆成小问题，并且记下小问题的答案。如果下次遇到同一个小问题，直接查表，不再重新算。（图表法）
关注点：结果（状态）。
它关注“到达第 \(i\) 个点时，最好的结果是多少？”挖地雷中的DP：到达地窖4时，我只关心“从哪里走到4地雷最多（是从2来还是从3来？）”，选一个最大的存下来。以后不管谁问地窖4的情况，我都直接告诉他这个最大值，不用再倒回去重走。

效率的区别

假设有一个图，很多条路都能汇聚到同一个点 \(X\)，然后再从 \(X\) 走向终点。

DFS（纯递归）的问题：重复计算。

路径 A 走到了 \(X\)，DFS 会继续把 \(X\) 后面的路全走一遍。
路径 B 也走到了 \(X\)，DFS 会再次把 \(X\) 后面的路全走一遍。

时间复杂度：通常是指数级 \(O(2^N)\)，数据大一点（比如 \(N=50\)）就会超时。

DP 的优势：消除重叠子问题。

路径 A 走到 \(X\) 时，算出 \(X\) 后面的最优解，存在 dp[X] 数组里。
路径 B 走到 \(X\) 时，发现 dp[X] 已经有数了，直接拿来用，不用往下走了。
时间复杂度：通常是多项式级 \(O(N^2)\) 或 \(O(N)\)，非常快。

适用场景的区别

联系

DFS + 备忘录 = DP