candy P14328: dp优化

P14328 [JOI2022 预选赛 R2] 糖 2 / Candies 2 题解

题目链接：p14328

题意描述

有 \(N\) 个糖果排成一列，每个糖果有一个美味度 \(A_i\)。需要选择糖果，使之满足限制：对于任意连续的 \(K\) 个糖果，最多只能选择其中 \(2\) 个。并在满足限制的条件下，最大化所选糖果的美味度总和。

数据范围：\(2 \le K \le N \le 3000\)

解题思路

动态规划

在写题的时候很容易想到要使用 \(dp\)，那怎么设计呢？发现选取 \(i\) 的情况是由 \(j \in [i-k+1,i-1]\) 转移得到，而对于 \(dp[j]\) 我们选取其所有转移到 \(j\) 的最大值。

状态定义

定义 \(dp[i][j]\) 表示选择第 \(i\) 个糖果，并且从第 \(j\) 个位置转移过来的最大美味度总和。

同时定义 \(ma\_dp[i][j]\) 作为前缀最大值数组，用于优化时间复杂度，表示前 \(j\) 个位置中最大的 \(dp[i][j]\) 值。

并将 \(dp[i][i]\) 初始化为 \(wi[i]\)，即选取一个点的情况。

状态转移

对于每个糖果 \(i\)，我们考虑：

选择第 \(i\) 个糖果，并与之前某个糖果 \(j\) 组合：

• 需要满足 \(j\) 和 \(i\) 的距离不超过 \(K\)（即 \(i-k+1 \le j < i\)），如果超过，直接取其最大值，因为我们可以中间不选。
• 转移方程为：\(dp[i][j] = \max\limits_{1 \le k \le \min(j, i-K)} max\_dp[j][k] + A_i\)

前缀最大值优化

为了快速获取前 \(j\) 个位置中的最大值，我们使用 \(ma\_dp[i][j]\) 数组：

• \(ma\_dp[i][j] = ma\_dp[j][pre]+wi[i]\)，其中 \(pre\) 是选完 \(j\) 后最后合法的位置。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
constexpr int maxn=3e3+10;
constexpr int maxm=2e5+10;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n,k;
int wi[maxn];
int dp[maxn][maxn]; // dp[i][j] i第个点，从j转移的最大值
int ma_dp[maxn][maxn]; // 前缀最大值数组

signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lld",wi+i);
    }

    for(int i=1;i<=n;++i)
    { 
        dp[i][i]=wi[i];
        for(int j=i-k+1;j<i;++j)
        {
            int pre=max(0LL,i-k);// 小于0不合法不转移
            if(pre)
            {
                if(pre>j)
                {
                    pre=j;// 不想思考了，直接特判，pre>j意味着j可以任意选取，由于我们需要前面全部的可能，所以取j最大值
                }
                dp[i][j]=ma_dp[j][pre]+wi[i];
            }
            else 
            {
                dp[i][j]=wi[i]+wi[j];// pre==0 直接算j和i的价值（因为是从j转移到i的）
            }
            ans=max(ans,dp[i][j]);
        }
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            ma_dp[i][j]=max(ma_dp[i][j-1],dp[i][j]);// 预处理ma_dp
        }
    }

    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N^2)\)，因为有两层循环分别遍历 \(N\) 个糖果和最多 \(K\) 个转移位置
• 空间复杂度：\(O(N^2)\)，用于存储 \(dp\) 和 \(ma\_dp\) 数组