MIT 18.06 线性代数 - 22. 对角化和矩阵的幂

关于斐波那契数列计算第n个数,使用矩阵特征向量和特征值求解:

Fibonacci 数列的定义是:\(F(0)=0\)\(F(1)=1\) 并且对于 \(n>1\)\(F(n)=F(n-1)+F(n-2)\)。我们可以使用线性代数中的特征向量和特征值来求解 Fibonacci 数列。

首先,我们可以将 Fibonacci 数列写为一个线性系统的形式:

\[\begin{bmatrix} F(n+1)\\ F(n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n)\\ F(n-1) \end{bmatrix} \]

我们可以将这个矩阵写为 \(A\),然后找到 \(A\) 的特征值和特征向量。计算得到,特征值为 \(\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(\lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\),对应的特征向量为 \(v_1=\begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1 \end{bmatrix}\)\(v_2=\begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1 \end{bmatrix}\)

我们可以将 Fibonacci 数列的通项公式写为这两个特征向量的线性组合形式:

\[\begin{bmatrix} F(n)\\ F(n-1) \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ 1 \end{bmatrix} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + c_2 \begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1 \end{bmatrix} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \]

通过 \(F(0)=0\)\(F(1)=1\),我们可以解得 \(c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\)\(c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)

所以 Fibonacci 数列的第 \(n\) 项可以由以下公式计算:

\[F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \]

这就是通过线性代数特征值和特征向量方式求解 Fibonacci 数列的方法。

posted @ 2023-09-02 22:54  代码乱了  阅读(10)  评论(0编辑  收藏  举报