树链剖分
树链剖分
- 类型：轻重链剖分
- 例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3384
- 前置知识：图论，线段树，LCA
- 思想：将树剖分为链用线段树来维护
一、树剖分为链
定义
- 重儿子：一个子结点中子树最大的结点。
- 轻儿子：非重儿子的结点。
- 重边：结点到重儿子的边
- 轻边：结点到轻儿子的边
- 重链：若干条首尾衔接的重边
那么：把落单的结点也当作重链，那么整棵树就被剖分成若干条重链。
如图，举个例子：
实现
用两个 dfs 实现。
一个求出结点的父结点（fa），结点的深度（dep），结点子树大小（size），重儿子编号（son）。
另一个求出重链的顶点（top），dfs 序（dfn），即在线段树中的编号，dfs 序所对应的节点编号（rev）。
会发现：rev[dfn[x]]=x。
代码展示
void dfs1(int p, int f) {
size[p] = 1; dep[p] = dep[f] + 1; fa[p] = f;
for (int i = h[p]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (v == f) continue;
dfs1(v, p);
size[p] += size[v];
if (size[v] > size[son[p]])
son[p] = v;
}
}
void dfs2(int p, int t) {
top[p] = t;
dfn[p] = ++cnt;
rev[cnt] = p;
if (!son[p]) return ;
dfs2(son[p], t); // 优先对重儿子进行 DFS，可以保证同一条重链上的点 DFS 序连续
for (int i = h[p]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (v != son[p] && v != fa[p])
dfs2(v, v);
}
}
二、线段树
代码展示
void build(int p, int l, int r) {
a[p].l = l; a[p].r = r;
if (l == r) {
a[p].dat = d[rev[l]]; // 与维护序列的线段树唯一不同，d[rev[l]] 表示树上编号为 l 的结点
return ;
}
int mid = l + r >> 1;
build(p << 1, l, mid);
build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
a[p].dat = (a[p << 1].dat + a[p << 1 | 1].dat) % Mod;
}
void spread(int p) {
if (a[p].lazy) {
(a[p << 1].dat += (a[p << 1].r - a[p << 1].l + 1) * a[p].lazy) %= Mod;
(a[p << 1].lazy += a[p].lazy) %= Mod;
(a[p << 1 | 1].dat += (a[p << 1 | 1].r - a[p << 1 | 1].l + 1) * a[p].lazy) %= Mod;
(a[p << 1 | 1].lazy += a[p].lazy) %= Mod;
a[p].lazy = 0;
}
}
int query(int p, int l, int r) {
if (a[p].l >= l && a[p].r <= r) return a[p].dat;
spread(p);
int mid = a[p].l + a[p].r >> 1, sum = 0;
if (l <= mid) sum = (sum + query(p << 1, l, r)) % Mod;
if (r > mid) sum = (sum + query(p << 1 | 1, l, r)) % Mod;
return sum;
}
void update(int p, int l, int r, int x) {
if (a[p].l >= l && a[p].r <= r) {
(a[p].dat += (a[p].r - a[p].l + 1) * x) %= Mod;
(a[p].lazy += x) %= Mod; return ;
}
spread(p);
int mid = a[p].l + a[p].r >> 1;
if (l <= mid) update(p << 1, l, r, x);
if (r > mid) update(p << 1 | 1, l, r, x);
a[p].dat = (a[p << 1].dat + a[p << 1 | 1].dat) % Mod;
}
三、维护
1.子树修改
子树中结点的 dfs 序是连续的。
假若修改 \(p\) 的子树，则修改对象为 \(dfn[p]\sim dfn[p]+size[p]-1\)。
void update_subtree(int p, int v) {
update(1, dfn[p], dfn[p] + size[p] - 1, v);
}
2.子树询问
同上，不做解释。
int query_subtree(int p) {
return query(1, dfn[p], dfn[p] + size[p] - 1);
}
3.链的修改
步骤是这样的：
- 较深的结点往上跳，沿路修改
- 不在同一条重链上，回到 1
- 在同一条重链上，直接修改（因为同一条重链结点编号是连续的）
void update_chain(int x, int y, int v) {
while (top[x] != top[y]) {
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
update(1, dfn[top[x]], dfn[x], v);
x = fa[top[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
update(1, dfn[x], dfn[y], v);
}
4.链的查询
同上，不做解释。
int query_chain(int x, int y) {
int ans = 0;
while (top[x] != top[y]) {
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
(ans += query(1, dfn[top[x]], dfn[x])) %= Mod;
x = fa[top[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
(ans += query(1, dfn[x], dfn[y])) %= Mod;
return ans;
}
四、全部代码展示
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int read() {
int x = 0, k = 1;
char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') {
if (c == '-') k = -1;
c = getchar();
}
while (c >= '0' && c <= '9') {
x = x * 10 + c - '0';
c = getchar();
}
return x * k;
}
#define N 100005
struct edge {
int to, next;
} e[N << 1];
struct segt {
int l, r, dat, lazy;
} a[N << 2];
int n, m, root, Mod;
int tot, h[N];
int fa[N], dep[N], size[N], son[N];
int cnt, top[N], dfn[N], rev[N];
int d[N];
void add_edge(int u, int v) {
e[++tot].to = v;
e[tot].next = h[u];
h[u] = tot;
}
void dfs1(int p, int f) {
size[p] = 1; dep[p] = dep[f] + 1; fa[p] = f;
for (int i = h[p]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (v == f) continue;
dfs1(v, p);
size[p] += size[v];
if (size[v] > size[son[p]])
son[p] = v;
}
}
void dfs2(int p, int t) {
top[p] = t;
dfn[p] = ++cnt;
rev[cnt] = p;
if (!son[p]) return ;
dfs2(son[p], t);
for (int i = h[p]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (v != son[p] && v != fa[p])
dfs2(v, v);
}
}
void build(int p, int l, int r) {
a[p].l = l; a[p].r = r;
if (l == r) {
a[p].dat = d[rev[l]];
return ;
}
int mid = l + r >> 1;
build(p << 1, l, mid);
build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
a[p].dat = (a[p << 1].dat + a[p << 1 | 1].dat) % Mod;
}
void spread(int p) {
if (a[p].lazy) {
(a[p << 1].dat += (a[p << 1].r - a[p << 1].l + 1) * a[p].lazy) %= Mod;
(a[p << 1].lazy += a[p].lazy) %= Mod;
(a[p << 1 | 1].dat += (a[p << 1 | 1].r - a[p << 1 | 1].l + 1) * a[p].lazy) %= Mod;
(a[p << 1 | 1].lazy += a[p].lazy) %= Mod;
a[p].lazy = 0;
}
}
int query(int p, int l, int r) {
if (a[p].l >= l && a[p].r <= r) return a[p].dat;
spread(p);
int mid = a[p].l + a[p].r >> 1, sum = 0;
if (l <= mid) sum = (sum + query(p << 1, l, r)) % Mod;
if (r > mid) sum = (sum + query(p << 1 | 1, l, r)) % Mod;
return sum;
}
void update(int p, int l, int r, int x) {
if (a[p].l >= l && a[p].r <= r) {
(a[p].dat += (a[p].r - a[p].l + 1) * x) %= Mod;
(a[p].lazy += x) %= Mod; return ;
}
spread(p);
int mid = a[p].l + a[p].r >> 1;
if (l <= mid) update(p << 1, l, r, x);
if (r > mid) update(p << 1 | 1, l, r, x);
a[p].dat = (a[p << 1].dat + a[p << 1 | 1].dat) % Mod;
}
void update_chain(int x, int y, int v) {
while (top[x] != top[y]) {
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
update(1, dfn[top[x]], dfn[x], v);
x = fa[top[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
update(1, dfn[x], dfn[y], v);
}
int query_chain(int x, int y) {
int ans = 0;
while (top[x] != top[y]) {
if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
(ans += query(1, dfn[top[x]], dfn[x])) %= Mod;
x = fa[top[x]];
}
if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
(ans += query(1, dfn[x], dfn[y])) %= Mod;
return ans;
}
void update_subtree(int p, int v) {
update(1, dfn[p], dfn[p] + size[p] - 1, v);
}
int query_subtree(int p) {
return query(1, dfn[p], dfn[p] + size[p] - 1);
}
signed main() {
n = read(), m = read(), root = read(), Mod = read();
for (int i = 1; i <= n; i++)
d[i] = read();
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u = read(), v = read();
add_edge(u, v); add_edge(v, u);
}
dfs1(root, 0);
dfs2(root, root);
build(1, 1, n);
while (m--) {
int op = read();
if (op == 1) {
int x = read(), y = read(), v = read();
update_chain(x, y, v);
}
if (op == 2) {
int x = read(), y = read();
printf("%lld\n", query_chain(x, y));
}
if (op == 3) {
int x = read(), v = read();
update_subtree(x, v);
}
if (op == 4) {
int x = read();
printf("%lld\n", query_subtree(x));
}
}
}
五、后续：
1.时间复杂度
树的重链数量小于 \(\log n\)，线段树的操作时间复杂度为 \(O(\log n)\)，所以在修改和询问链的时间复杂度为 \(O(\log^2 n)\) 。
所以总时间复杂度为 \(O(n \log n + q \log^2 n)\) 。完全二叉树会超时，但随机数据下不用担心。
2.边权转点权
树的边上有权值的问题。例如：https://www.luogu.com.cn/problem/P4315
只需将指向子结点的边权设为子结点的点权，查询是特殊处理一下即可。
浙公网安备 33010602011771号