[知识点] 4.1 记忆化搜索与动态规划
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前言
最近又做了一些比较基础的 DP，感觉自己无敌了，应该有资格写篇文章来介绍了！
本文主要介绍动态规划的概念，记忆化搜索以及动态规划的核心。
更新日志
Update - 20200616
写完搜索部分后再回头看了下这篇起到衔接作用的文章，发现对记忆化搜索的概念还是有点偏差，加上之前在记忆化搜索和动规的过渡本身就有点牵强，于是进行了大幅修改。
同时划上了许多重点。
子目录列表
1、介绍
2、记忆化搜索？动规？
3、不要递归的记忆化搜索
4、动态规划的核心
5、总结
4.1 记忆化搜索与动态规划
1、介绍
动态规划 (dynamic programming) 是运筹学的一个分支，是求解决策过程 (decision process) 最优化的数学方法。其本质是将一个复杂的问题拆分成若干个相对简单的子问题，所以常适用于有重叠子问题和最优子结构问题。
这样介绍动态规划是很空洞而抽象的，我们从更简单的方式切入。
2、记忆化搜索？动规？
【Luogu P1048】【NOIP2005】【采药】山洞里有 m 株不同的草药，第 i 株草药的价值为 v[i]，采第 i 株草药需要时间 t[i]。在时间 T 内，要求采集一些草药，使总价值最高。
不知道动规碰到这道题的唯一方法为暴力搜索 —— 进行 DFS（请参见：3.1 DFS / BFS 搜索），对于每一株有选与不选两个选项，从第 1 株开始逐一进行二选一，如果出现时间超过限定则回溯；直到对 m 株都进行了选择，记录当前的价值并和最大价值比较，选择较大值，以此反复，可得最优解。核心代码如下：
1 void dfs(int o, int ot, int ov) { 2 if (ot > T) return; 3 if (o == m + 1) { 4 ans = max(ans, ov); 5 return; 6 } 7 dfs(o + 1, ot, ov); 8 dfs(o + 1, ot + t[o], ov + v[o]); 9 }
时间复杂度为 O(2 ^ n)，太美。
它的三个参数 o, ot, ov 可以看作这层 DFS 的状态，表示着选择完前 o - 1 株草药（并不包括当前的第 o 株，因为还没有选择它是否要采集）时已经耗费的时间 ot 和已经获得的价值 ov。
先不谈如何优化，来讲讲一个概念 —— 外部变量，进行铺垫。外部变量，即在 DFS 函数外定义且随 DFS 过程发生变化的变量。如上代码，ans 即为一个外部变量。ans 是用来记录最终答案的，我们尝试着能不能以另一种形式记录答案 —— 返回值。将 DFS 中的第三个参数 ov 移除，并将函数更改为 int 类型，则 dfs(o, ot) 表示在时间 ot 内采集后 i 个草药获得的最大收益，再来看代码：
1 int dfs(int o, int ot) { 2 if (o == m + 1) return f[o][ot] = 0; 3 int res1, res2 = -INF; 4 res1 = dfs(o + 1, ot); 5 if (ot >= t[o]) res2 = dfs(o + 1, ot - t[o]) + v[o]; 6 return f[o][ot] = max(res1, res2); 7 }
这时，res1 保存的是不采集第 o 株的返回值，res2 保存的是采集第 o 株的。而最终的答案，就是 dfs(m, T) 的返回值，通过回溯，最后返回给主函数。
上述两份代码是等价的，那为什么要提后面这种呢？我们尝试着去记录每一层 DFS 的返回值，震惊地发现，对于相同的 o, ot，其返回值也是相同的！其实也不难理解，因为本身不再借助外部变量，所以 DFS 函数是完全独立的运行，不受外界影响，对于相同的参数，其返回值相同也是必然的。
那么，利用这一点，我们就可以对搜索进行大幅度的优化了！对于 dfs(o, ot)，如果之前已经出现过 (o, ot) 这个状态了，那么大可不必再次进行后续的计算，直接将之前得到的返回值拿来就行，所以我们可以定义一个数组 f[i][j] 用以记录 dfs(i, j) 的返回值，每次递归时先判断 f[i][j] 是否已经有返回值，如果没有则继续执行，如果有则直接跳过。
所以，在上述代码的基础上增加一行即可：
1 int dfs(int o, int ot) { 2 if (f[o][ot] != -1) return f[o][ot]; 3 if (o == m + 1) return f[o][ot] = 0; 4 int res1, res2 = -INF; 5 res1 = dfs(o + 1, ot); 6 if (ot >= t[o]) res2 = dfs(o + 1, ot - t[o]) + v[o]; 7 return f[o][ot] = max(res1, res2); 8 }
普通的暴力搜索，是没有记忆的；相比之下，我们增加的数组给搜索添加了记忆功能，使其不会走弯路，吃一堑长一智，这样的搜索，我们称之为 —— 记忆化搜索。
它本身属于 3.3 搜索优化 中的一种，同时又和动态规划有着极其紧密的联系，用于搜索和动规之间的衔接最合适不过了。那么，它和动态规划是什么关系呢？
3、不要递归的记忆化搜索
还是上面这道例题。首先前面给出了一个定义 —— dfs(o, ot) 表示在时间 ot 内采集后 o 个草药获得的最大收益，同时 f[i][j] 记录的则是 dfs(i, j) 的返回值。
通过递归过程的分析不难发现，对于参数 o，其递归顺序是单调的，从最后一株草药一直到第一株，也就是说在对第 i 个草药进行采集还是不采集的选择时，只和第 i - 1 个（从后 i 个递归到后 i + 1 个，即相当于从第 i 个草药递归到第 i - 1 个草药）草药存在直接的转移关系（也正是因为这个特性，这道题的动规方程可以只使用一维数组，即滚动数组，但这里不提，在 4.2 背包 DP 会提及）。
而对于参数 ot，随着草药采集的增多，ot 必然是变小的。对于第 i 个草药，如果选择采集，那么返回值就存在 f[i][j] = f[i - 1][j - t[i]] + v[i] 的关系；如果不采集，f[i][j] = f[i - 1][j]。也就是说，o 和 ot 两个参数在递归的过程中都是单调变化的，为何要大费周章地用递归去实现？
看下这段代码。
1 for (int i = 1; i <= m; i++) 2 for (int j = 1; j <= T; j++) 3 if (j >= t[i]) 4 f[i][j] = max(f[i - 1][j - t[i]] + v[i], f[i - 1][j]); 5 else 6 f[i][j] = f[i - 1][j];
通过简单的二重循环，圆满完成了递归完成的任务 —— 两个参数都是单调的，for 循环完全可以实现。
而使用的这个 f 数组，恰好就是递归过程中使用的记录数组，即 f[i][j] 表示对于后 i 个草药在时间 j 内获得的最大价值，最终的结果为 f[n][1..T] 中的最大值，因为并未限定时间必须为多少。那么这样一个数组，在动态规划中，我们称之为状态数组，即用来表示由若干个参数组成的状态值；而诸如 f[i][j] = max(f[i - 1][j - t[i]] + v[i], f[i - 1][j]) 这样的式子，我们称之为状态转移方程，用于建立起相关状态间的联系。
你可以说，记忆化搜索约等于动态规划，也可以说，记忆化搜索是一种以递归 / 搜索形式实现的动态规划，总而言之，两者是密不可分的。但同时也并非完全等同。
相比之下，记忆化搜索可以避免搜索到一些无用的状态，所以它也是被视作搜索优化的一种；更好理解，没有动规那么抽象。缺点的话，首先是递归形式，效率相比 for 循环肯定是低的；不能使用滚动数组来降低维度，空间复杂度难以优化；代码量较大。
4、动态规划的核心
从上面的例题中，我们提炼出动态规划的几个核心：
① 划分状态
一项任务能不能用动态规划的思想来完成，首先判断能否或者是否比较轻松的划分出子问题，以定义每个子问题的状态。
比如例题中草药，时间，价值，以及之间的关系。
② 状态表示
几乎所有动态规划离不开一个 f 数组。f 数组是一个抽象数组，它并没有例题中“v[i] 表示第 i 株草药的价值”这么直白的定义，而是以其若干个维度表示的参数所组成的一个状态。
比如例题中的 f[i][j]。
③ 状态转移
如何从一个状态转移到另一个状态是动态规划的关键，明确了状态转移方程，才能顺水推舟地一路递推下去，直到获得结果。
例题中的状态转移方程见上。
④ 状态范围
初始状态是什么？每一个参数的范围在哪里？最终状态又是什么？正如你已经知道了前行的路径，还需要定义起点和终点才能出发。
比如例题中，我们从最后一株草药开始选择是否采集，时间则是从 0 开始。
5、最后
动态规划最基础的概念就是这些，而这仅仅只是一些皮毛，接下来还有动态规划的各种基本模型，以及进一步拓展的各种高级动态规划，以及动态规划的优化方法。
