[知识点] 6.4.3 费马小定理
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前言
没什么好说的啦。
更新日志
Update - 20200728
重整了一下章节之间的逻辑，以及标题进行了替换。
子目录列表
1、定义
2、应用
3、延伸
6.4.3 费马小定理
1、定义
费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么：a ^ p - a是p的倍数，即：
如果a不是p的倍数，还可以表示为：
2、应用
① 计算余数
例子：计算 2 ^ 100 / 13 的余数
即余数为3。
② 乘法逆元
关于乘法逆元的概念和扩欧定理求法，请参见：6.4.2 欧几里得算法与扩欧算法
根据费马小定理，可得
，进而
，直接快速幂求出a ^ (b - 2)的余数即可。
3、延伸
费马小定理本质上是欧拉定理的一种特例。
欧拉定理：假如n和a为正整数，且互素，则：
其中，ψ(n)为欧拉函数（欧拉函数：ψ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数）
在费马小定理的基础上，欧拉定理可以处理模数非质数的情况，比如：
计算7 ^ 222 / 10的余数。
