二进制，八进制，十进制，十六进制的相互转换

常用进制数：二进制，八进制，十进制，十六进制

进制理解

计算机中硬件之间的信息传递是由电流确定，假如一个半导体允许通过的电流是5A，如果电流通过的为5A，则通过，计为1，如果通过的电流小于5A，则不通过，计为0。

由此，出现两种情况的判断，与或非。电流的传递由0或1来完成，由此引申出二进制数的概念，以便底层硬件有共同的“语言”，即机器语言，相互沟通和交流。

 我们生活中一般数值的运算是十进制。就是满10进1，个十百千万，依次递进。由此，可以类比。

二进制（Binary）：0，1。基数为2，逢二进一。表示：(111)₂或者(111)_B

八进制（Octal number system）：0，1，2，3，4，5，6，7。基数为8，逢八进一。表示：(111)₈或者(111)_O

十进制（Decimal system）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。基数为10，逢十进一。表示：(111)₁₀或者(111)_D

十六进制（Hexadecimal）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A（10），B（11），C（12），D（13），E（14），F（15）。基数为16，逢十六进一。表示：(111)₁₆或者(111)_H

 

n进制:(逢n进1)

个位数：n⁰（ 0个8）

十位数：n¹（ 1个8）

百位数：n²（ 8个8）

  

进制转换

1.十进制转其他进制

①　除二取余法（整数部分）：把被转换的十进制整数反复除以2，直至商为0，所得的余数（从末位读起）就是这个数的二进制表示。

 

 

 

  

②　乘二取整法（小数部分）:将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零为止。

如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。

换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数。

例：(0.257)₁₀ 转换二进制（保留4位）

(0.257)₂ =(0.0100)₂

0.257*2=0.514  ..........整数为0，小数为0.514

0.514*2=1.028  ..........整数为1，小数为0.028

0.028*2=0.056  ..........整数为0，小数为0.056

0.056*2=0.112  ..........整数为0，小数为0.112

 

十进制转其他进制（整数部分）：除几位进制数取余数（末位取）

2.其他进制转十进制（位权法）

位权法：二进制数按权展开求和。

二进制转十进制：(111)₂=(1*2²+1*2¹+1*2⁰)₁₀=(7)₁₀

八进制转十进制：(111)₈=(1*8²+1*8¹+1*8⁰)₈=(73)₈

十六进制转十进制：(111)₁₆=(1*16²+1*16¹+1*16⁰)₁₆=(273)₁₆

所以总结起立通用公式为：

(abcd.efg)_n=(a*n³+b*n²+c*n¹+d*n⁰+e*n^-1+f*n^-2+g*n^-3)₁₀

3.二进制与八进制、十六进制直接的转换

①　因为2³=8，所以八进制的1位需要3位二进制数表示，由小数点分别向左右划分3位一组二进制数，前后不足3位时补“0”。

例：

二进制转八进制

(011 010 101 . 010 010 100)₂

(  3  2  5  . 2   2   4 )₈

八进制转二进制

(  6  5  2  . 3   0   7 )₈

(110 101 010 . 011 000 111)₂

 

②　因为2⁴=8，所以十六进制的1位需要4位二进制数表示，由小数点分别向左右划分4位一组二进制数，前后不足4位时补“0”。

 

例：

二进制转十六进制

(0010 1101 0101 . 0111 1010 )₂

(  2   D   5  .   7   A  )₈

十六进制转二进制

(  1   C   5  .  1    B  )₈

(0001 1100 0100 . 0001 1010 )₂

 

4.二进制数运算规则

 

四则数学运算
加法	逢二进一	0+0=0	1+0=1	0+1=1	1+1=10
减法	借一当二	0-0=0	1-0=1	1-1=0	10-1=1
乘法		0×0=0	1×0=0	0×1=0	1×1=1
除法	除0为非法			0÷1=0	1÷1=1
逻辑运算
与运算	逻辑乘	0∧0=0	0∧1=0	1∧0=0	1∧1=1
或运算	逻辑加	0∨0=0	0∨1=1	1∨0=1	1∨1=1
异或运算	左右不同为1	0⊙0=0	0⊙1=1	1⊙0=1	1⊙1=10

 

运算优先规则
1级	非运算	!
2级	与位运算	&
3级	异或运算	^
4级	或运算	|
5级	逻辑与运算	&&
6级	逻辑或运算	||