浅谈旋转矩阵和平移向量的计算原理

def img_transform(img, post_rot, post_tran,
                  resize, resize_dims, crop,
                  flip, rotate):
    # adjust image
    img = img.resize(resize_dims)  # 变形 crop
    img = img.crop(crop)
    if flip:
        img = img.transpose(method=Image.FLIP_LEFT_RIGHT)
    img = img.rotate(rotate)

    # post-homography transformation
    post_rot *= resize
    post_tran -= torch.Tensor(crop[:2])
    if flip:
        A = torch.Tensor([[-1, 0], [0, 1]])
        b = torch.Tensor([crop[2] - crop[0], 0])
        post_rot = A.matmul(post_rot)
        post_tran = A.matmul(post_tran) + b
    A = get_rot(rotate/180*np.pi)
    b = torch.Tensor([crop[2] - crop[0], crop[3] - crop[1]]) / 2
    b = A.matmul(-b) + b
    post_rot = A.matmul(post_rot)
    post_tran = A.matmul(post_tran) + b

    return img, post_rot, post_tran
 

旋转矩阵和平移向量的计算原理：

增强的顺序是：resize，crop，flip，rotate

假设初始坐标为(x,y)，

a) resize

坐标变为(rx,ry) ， r为变换scale，此时旋转矩阵和平移向量为:

R1=((r, 0),(0,r)),

t1=(0,0)

b) crop

若左上角crop点坐标为（cx,cy），则坐标变为(rx-cx,ry-cy) ，旋转矩阵和平移向量为：

R2=((r, 0),(0,r)),

t2=(-cx,-cy)

至此，对应上述12到13行得到的张量。

c）水平flip

记crop出来的区块宽度为w，坐标变化： (x3,y3)=(w-x2,y2)=(-rx+w+cx,ry-cy) ，旋转矩阵和平移向量为：

R3=((-r, 0),(0,r)) = ((-1, 0),(0,1))((r, 0),(0,r)）=((-1, 0),(0,1))*R2

t3=(w+cx,-cy)=((-1, 0),(0,1))(-cx,-cy)+(w,0)=((-1, 0),(0,1))*t2+(w,0)

该步对应上述15到18行。

d)rotate

一般旋转公式左乘旋转矩阵是针对相对原点旋转的情况，而图像旋转一般是围绕图像中心旋转。因此，我们需要先把坐标系平移到图像中心，即由（x3,y3）变成 (x3-w/2,y3-h/2)，再左乘旋转矩阵A ，最后再把坐标系转回到原点。

因此：(x4,y4)=A( (x3-w/2,y3-h/2)) +(w/2,h/2) = A( (-rx+w/2+cx,ry-h/2-cy)) +(w/2,h/2)  =A((-r, 0),(0,r))(x,y)+A(w/2+cx,-h/w-cy)+(w/2,h/2)即： (x4,y4)=AR3(x,y)+A((w+cx,-cy)+(-w/2,-h/2))+(w/2,h/2)=AR3(x,y)+At3+A(-(w/2,h/2))+(w/2,h/2) .

其中A=（(cosa,sina),(-sina,cosa)）因此，令b=(w/2,h/2)，旋转矩阵和平移向量为：

R4=AR3

t4=At3+A(-b)+b

到此对应上述19到23行。