高等数学下册笔记2

第8章空间解析几何与向量代数

8.1 向量及其线性运算

8.1.1 空间直角坐标系

定理8.1

设向量a $ \neq $ 0,那么,向量a与b平行(记作a $ /!/ $ b)的充分必要条件是:存在唯一常数 $ \lambda $ 使得b= $ \lambda $ a.

共线算平行

标准基：

设a={ $ a_ {x} $ , $ a_ {y} $ , $ a_ {z} $ },则a= $ a_ {x}{1,0,0} $ + $ a_ {y}{0,1,0} $ + $ a_ {z}{0,0,1} $ = $ a_ {x} $ i+ $ a_ {yj} $ + $ a_ {z} $ k,这说明任意一个三维向量都可由i,j,k线性表示.我们把i,j,k称为 $ V_ {3} $ 中的一组标准基.

8.2 向量的数量积

8.2.1 向量的数量积

向量的夹角∈[0,π]

数量积【点积】【内积】(余弦)：

8.2.2 方向角、投影

方向角：$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{a\_x^2+a\_y^2+a\_z^2}{\mid\boldsymbol{a}\mid^2}=1.$

{ $ \cos $ $ \alpha $ , $ \cos $ $ \beta $ , $ \cos $ $ \gamma $ }= $ \frac {a}{|a|} $ .
可见{ $ \cos $ $ \alpha $ , $ \cos $ $ \beta $ , $ \cos $ $ \gamma $ }正是与a指向相同的单位向量.

投影：

8.3 向量的向量积、混合积

8.3.1 向量的向量积

向量积【叉积】【外积】(正弦)：

8.3.2 向量的混合积

$(a\times b)\bullet c=a\bullet(b\times c)$
$(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_x\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$

8.4平面及其方程

8.4.1 平面的点法式方程

\[A(x-x\_{0})+B(y-y\_{0})+C(z-z\_{0})=0. \]

法向量：(A, B, C)

平面上的点：(x, y, z) (x0, y0, z0)

如果线n和线a, b都垂直：则n= a × b

8.4.2 平面的一般式方程

Ax+By+Cz+D=0

通过x轴的平面，A=0，D=0

平行x轴的平面，A=0

8.4.3 平面的截距式方程

\[\frac xa+\frac yb+\frac zc=1 \]

a,b,c依次是平面在x轴、y轴、z轴上的截距.

8.4.4点到平面的距离

注意到 $ P_ {1} $ ( $ x_ {1} $ , $ y_ {1} $ , $ z_ {1} $ )是平面上一点,所以 $ Ax_ {1} $ + $ By_ {1} $ + $ Cz_ {1} $ =-D,这样我们得到点
$ P_ {0} $ ( $ x_ {0} $ , $ y_ {0} $ , $ z_ {0} $ )到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为

\[d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. \]

8.5空间直线及其方程

8.5.2空间直线的对称式方程/点向式方程

\[\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} \]

举一个实例。把{2x+3y-4z+2=0;x+2y+3z-1=0化为对称式。

方法一:
平面2x+3y-4z+2=0的法向量为n1=(2,3,-4),
平面x+2y+3z-1=0的法向量为n2=(1,2,3),
因此直线的方向向量为v=n1 $ \times $ n2=(17,-10,1)
取x=10,y=-6,z=1,
知直线过点P(10,-6,1),
所以直线的对称式方程为(x-10)/17=(y+6)/(-10)=(2-1)/1。

问：两个一般/两个平面à对称式