可视化图解算法78：整数拆分

1.题目

描述

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

2. 题解思路

本题如果不是强调用动态规划，很难想到用动态规划来解决。对于一个整数的拆分，也有技巧：对于一个数，可以拆分为2个数的乘机，也可以拆分成多个数的乘机。

如果文字描述的不太清楚，你可以参考视频的详细讲解。

• Python版本：https://www.bilibili.com/cheese/play/ep1375308
• Java版本：https://www.bilibili.com/cheese/play/ep1368534
• Golang版本：https://www.bilibili.com/cheese/play/ep1368734

3.编码实现

核心代码如下：

func integerBreak(n int) int {
	//1.定义状态.	i：给定的正整数;	dp[i]：对i进行拆分，最大的乘机
	dp := make([]int, n+1)
	//2.初始化边界条件：
	dp[0] = 0 //0只能拆分为：0与0,相乘结果为0
	dp[1] = 0 //1只能拆分为：1与0,相乘结果为0
	dp[2] = 1 //2可以拆分为：1与1,最大相乘结果为1
	//3.确定递推公式：
	for i := 3; i <= n; i++ {
		for j := 1; j < i; j++ {
			//for j := 1; j <= i/2; j++ {
			dp[i] = max(j*(i-j), j*(dp[i-j]), dp[i]) //对于每一个i，有多次的拆分，因此需要对每次的dp[i]取最大值
			fmt.Printf("%d\t", dp[i])
		}
	}
	fmt.Println("\n", dp)
	// 4.输出结果
	return dp[n]
}
func max(a, b, c int) int {
	var maxValue int
	if b <= a && c <= a {
		maxValue = a
	} else if a <= b && c <= b {
		maxValue = b
	} else {
		maxValue = c
	}
	return maxValue
}

具体完整代码你可以参考下面视频的详细讲解。

• Python版本：https://www.bilibili.com/cheese/play/ep1375308
• Java版本：https://www.bilibili.com/cheese/play/ep1368534
• Golang版本：https://www.bilibili.com/cheese/play/ep1368734

4.总结

本题想对来说还是比较难，难点是想到用动态规划解决，并且对一个整数拆分的情况进行细分。对i进行拆分包括2种情况：

• 拆分为2个数：j x（i-j）；
• 拆分为3个数或者更多，即固定j，对 i-j 进一步拆分：j x dp[i-j]；其中，j为变量，取值为：[1:i-1]

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