高次同余方程式的解数及解法

定理一：

若是k个两两互质的正整数，，则同余式

      

                                    (1)

与同余式组

      

           (i=1,2,3,...,k)          (2)

等价，并且若用表示对模的解数，T表示(1)式对模m的解数，

则：

所以求多项式的解可以用上述方法，先分解分别求出各个解再合并。

定理二：p是素数，r>=2是整数，是整系数多项式，设是同余方程

的一个解，以表示的导数。

(1)若，则存在整数t，使是同于方程的解。

(2)若，并且，则对于t=0,1,2,3,...,p-1，中的

x都是方程的解。

2013年全国邀请赛长沙赛区的E题就是利用上述的定理。

题目：Special equations

 

题目大意 ：

 

给定函数 , pri为质数，求一个x使得，, 如果没有，输出No Solution.

 

首先求得所有的i,使得 

然后分别验证所有的 , 是否满足

由于在第一次枚举的时候保留下来的i不会很多，第二次暴力枚举的时候复杂度不会很大。

 

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N=105;

LL a[N];
LL temp[N];

LL Equ(LL n,LL x)
{
    if(n==1)      return a[1]*x+a[0];
    else if(n==2) return a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];
    else if(n==3) return a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];
    else if(n==4) return a[4]*x*x*x*x+a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];
}

int main()
{
    LL T,n,i,j,p,k,tt=1;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(i=n;i>=0;i--)
           cin>>a[i];
        cin>>p;
        k=0;
        for(i=0;i<p;i++)
        {
            if(Equ(n,i)%p==0) 
            {
                temp[k++]=i;
            }
        }
        if(k==0)
        {
            printf("Case #%I64d: No solution!\n",tt++);
            continue;
        }
        LL ret=-1;
        for(i=0;i<k;i++)
        {
            bool flag=0;
            for(j=0;j<p;j++)
            {
                LL x=(temp[i]+j*p);
                if(Equ(n,x)%(p*p)==0)
                {
                    ret=x;
                    flag=1;
                    break;
                }
            }
            if(flag) break;
        }
        if(ret==-1)
        {
            printf("Case #%I64d: No solution!\n",tt++);
            continue;
        }
        printf("Case #%I64d: %I64d\n",tt++,ret);
    }
    return 0;
}