搜索与回溯 学习笔记
板子题
原题网址P1219 八皇后
八皇后
题目描述
一个如下的 \(6\times6\) 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。
上面的布局可以用序列 \(2 4 6 1 3 5\) 来描述，第\(i\)个数字表示在第 \(i\)行的相应位置有一个棋子，如下：
行号\(1 2 3 4 5 6\)
列号\(2 4 6 1 3 5\)
这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前\(3\)个解。最后一行是解的总个数。
输入格式
一行一个正整数\(n\)，表示棋盘是\(n \times n\)大小的。
输出格式
前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。
输入输出样例
输入 # 1
6
输出 #1
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4
说明/提示
【数据范围】
对于\(100\%\)的数据,\(6≤n≤13\)。
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 1.5
算法理解
暴搜嘛，其实可以做\(99\%\)的题目，但是其中\(99.999\%\)的题目会TLE，得分一般看造数据的良心，一般只有\(20\)~\(80\)分，如果想A，对于一些数据比较弱的题目，只要剪枝优化或者使用记忆化搜索就可以了，但是对于像01背包这样的题目，还是改进算法更靠谱。
但是，每道题目，当想不出方法时，不能让\(100\)分就白白流去。
方法一：骗分
方法二：暴搜（敲重点）
算法实现
使用一个递归函数即可。
代码实现
这里给出模板（伪代码）。
void search(int k){
if(到达目的地){ 输出解;return; }
for(int i=1;i<=算符总数;i++){
if(不满足条件) continue;
保存结果;
进行递归前的操作;
search(k+1);
恢复:递归前一步的内容;
{回溯一步}
}
}
注意：这是我自己习惯的一个模板，有自己的码风，与书上的略有不同，勿喷。
算法复杂度
设总共有\(N\)种独立的选择（类似于八皇后的几行，01背包的物品数量），每一种选择的选择方案（类似八皇后的列数，多重背包的每件物品的个数）为\(a_i\) \((1\leq i\leq N)\)那么，复杂度就为\(O(a_1 \times a_2 \times a_3 ...a_{N-1}\times a_N)\)如果想八皇后、01背包一样\(a_1 = a_2 = a_3 ...a_{n-1} = a_n\),设\(M=a_1\)那么复杂度为\(O(M^N)\),非常慢，但是对于小数据还是非常爽的。
板子题-解析
先看一下数据范围：
\(6≤n≤13\)
在简单的算一下：
\(13^2=169\)
\(13^3=2197\)
\(13^4=28561\)
\(13^5=371293\)
\(13^6=4826809\)
\(13^7=62748517\)
\(13^8=815730721\)
时间还是比较充裕的。
解法1
首先，开一个\(see[39][39]\)的数组来贮存这个位置是否被占取，利用全局变量的初值，0为未占取，1为已占取。
代码如下：
#include<cstdio>
#define maxn 39
using namespace std;
int n,see[maxn][maxn],ans[maxn],sum,a[maxn];
void search(int k){
if(k==n+1){
sum++;
if(sum<=3){
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("\n");
}
return;
}
register int i,j;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(k==1){
for(int x=1;x<=n;x++)
for(int y=1;y<=n;y++) see[x][y]=0;
}
if(see[k][i]==1) continue;
a[k]=i;
register int x=k,y=i;
int now[maxn][maxn]={{0}};
for(x=1;x<=n;x++)
for(y=1;y<=n;y++)
now[x][y]=see[x][y];
for(int j=1;j<=n;j++) see[j][i]=1;
x=k,y=i;
while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1; x++;y++; }
x=k,y=i;
while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1; x++;y--; }
x=k,y=i;
while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1; x--;y++; }
x=k,y=i;
while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1;x--;y--; }
search(k+1);
for(x=1;x<=n;x++)
for(y=1;y<=n;y++)
see[x][y]=now[x][y];
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
search(1);
printf("%d",sum);
return 0;
}
测评结果：
ACACACACACACACTLE
he~~~~
TLE了一个
啊~~~~~~~~~~~~
可以看见，第\(7\)个测试点已经是\(0.8\)秒的了，看来，还得优化一波~~~~
当然是寄存器和右上角的O2啦
好了，不扯了，加下来请看——————
解法2--AC
二话不说，先上图：
| Y\X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | | | / | ||||||
| 2 | | | / | ||||||
| 3 | \ | | | / | |||||
| 4 | \ | | | / | |||||
| 5 | - | - | ▲ | - | - | - | - | - |
| 6 | / | | | \ | |||||
| 7 | / | | | \ | |||||
| 8 | | | \ |
▲表示皇后的位置
| - \ /表示皇后控制的区域，也就是说，如果皇后放在▲上，这些位置就不能放皇后了。
也就是说，我们只要开3个数组，因为我们是一行一行搜索的，就没必要统计“-”的位置了。
在仔细看，你会发现：
1.“|”永远位于同一列;
2.“\”行与列的差永远一样，由于C++不能处理负下标的数组（会RE），所以在用数组表示的时候，要加上一个数（这里用\(n\)）;
3.“/”行与列的和永远一样。
用\(line\) 数组表示“|”，用l表示;
用\(l\) 数组表示“/”
用\(r\) 数组表示“\”（别忘了加上\(n\)）
代码君献上AC代码：
注：这题我用了\(n\)小时，\(n>2\)
#include<cstdio>
#define maxn 39
using namespace std;
int n,line[maxn],l[maxn],r[maxn],sum,a[maxn];
void search(int k){
if(k==n+1){
sum++;
if(sum<=3){
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("\n");
}
return;
}
int i,j;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(line[i]==1||l[k+i]==1||r[k-i+n]==1) continue;
a[k]=i;
line[i]=1; l[k+i]=1; r[k-i+n]=1;
search(k+1);
line[i]=0; l[k+i]=0; r[k-i+n]=0;
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
search(1);
printf("%d",sum);
return 0;
}
结尾福利：
祝同学们新年快乐！
祝武汉人民度过难关！
最后记得打\(1\)月\(28\)日（农历初四）\(14:00\)~\(18:00\)的月赛哦~~
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