不常见的几种博弈

Ferguson博弈(清空/分割游戏)

 

清空/分割游戏也叫做Ferguson博弈。

进行游戏需要用到两个盒子。在游戏的开始，第一个盒子中有n枚石子，第二个盒子中有m个石子(n, m > 0)。参与游戏的两名玩家轮流执行这样的操作：清空一个盒子中的石子，然后从另一个盒子中拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后两个盒子都不空,才轮到对方取。当两个盒子中都只有一枚石子时，游戏结束。最后成功执行操作的玩家获胜。

对于一个位置(x, y)来说，如果x, y中有一个偶数，那么(x, y)是N（必胜）位置。如果x和y都是奇数，那么(x, y)是P位置（必败）。可以用数学归纳法证明。

 

证明结论：(x,y)至少一偶时，先手胜；都为奇时，先手败

证明：

(x,y)=(1,1)时是先手必败态

下对max(x,y)>1进行归纳

1、当max(x,y)=2时，即(x,y)=(1,2)或（2,1）或（2,2），先手留下一个2分为（1,1），先手获胜

即当max(x,y)=2时结论成立。

2、假设max(x,y)<k时结论都成立，现证max(x,y)=k时结论成立

若（x,y)中有一个偶数(设为a)，先手将另一个清空，把偶数a分为两个奇数b和c，由于b、c<a 小于等于 k，即max(b,c)<k,由假设，在（b,c)位置上后手作为新先手必败，故先手胜

若(x,y)都为奇数，先手只能保留一个奇数并将其分解为一奇a一偶b,由于max(a,b)<max(x,y)=k,由假设，在（a,b)位置上后手作为新先手必胜，故先手败 

  

Fibonacci’s Game(斐波那契博弈)

 

斐波那契博弈模型，是ACM题中常见的组合游戏中的一种，大致上是这样的：

有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；

2. 之后每次可以取的石子数介于 1 到对手刚取的石子数的 2 倍之间（包含 1 和对手刚取的石子数的 2 倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

 

这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

下面简单谈谈“先手败当且仅当n为Fibonacci数列”这一结论是怎么得来的。

 

这里要用到一个很有用的定理：任何正整数可以表示为若干个不连续的 Fibonacci 数之和。

 比如，我们要分解83，注意到83被夹在55和89之间，于是把83可以写成83=55+28；然后再想办法分解28，28被夹在21和34之间，于是28=21+7；依此类推 7=5+2，故83=55+21+5+2。

 

①如果 n 是 Fibonacci 数，比如 n = 89。89前面的两个Fibonacci 数是34和55。如果先手第一次取的石子不小于 34 颗，那么一定后手赢，因为 89 - 34 = 55 = 34 + 21 < 2*34，注意55是Fibonacci数。此时后手只要将剩下的全部取光即可，此时先手必败。故只需要考虑先手第一次取得石子数 < 34 即可，于是剩下的石子数 x 介于 55 到 89 之间，它一定不是一个 Fibonacci 数。于是我们把 x 分解成 Fibonacci 数：x = 55 + f[i] + … + f[j]，其中55 > f[i] > … > f[j]，如果 f[j] ≤ 先手一开始所取石子数 y 的两倍，那么对后手就是面临 x 局面的先手，所以根据之前的分析，后手只要先取 f[j] 个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

 

下证：f[j] ≤ 2y

反证法：假设f[j]>2y，则 y < f[j]/2 = (f[j-1] + f[j-2])/2 < f[j-1]。而最初的石子数是个斐波那契数，即 n = f[k] = x + y < f[k-1] + f[i] + … + f[j] + f[j-1] ≤ f[k-1]+f[i]+f[i-1] ≤ f[k-1]+f[k-2] ≤ f[k] （注意第一个不等号是严格的），矛盾！f[j] ≤ 2y得证。

举例看：

 有89个，随便让先手取2，那还剩87=55+32=55+21+2，那后手就取2；接下来肯定是拆21了······总之，按这个方法再一次让先手面对Fibonacci 数55，但此时先手也一定不能将55取完。总之都能让先手再次面对Fibonacci 数。

那为什么先手不能把55去玩呢？

因为55是需要分解的那个数能得到最大Fibonacci 数，就看89=55+34；因为每次都是先手先拆Fibonacci 数，而如果需要一次取完55，那后手就应先取到28，而再前一步，先手至少取14，但34<28+14;那么如果在细分的话，也是这个道理。或者第一次就取得大，第二次直接取完它，但仔细一想也是按前面说的规律来的 。

 

②如果 n 不是 Fibonacci 数，比如n=83，我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，如果猜测正确的话，（面临这5颗的先手实际上是整个游戏的后手）那么一定是整个游戏的先手取走这5颗石子中的最后一颗，而这个我们可以通过第二类归纳法来绕过，同样的道理，根据“先手败当且仅当n为Fibonacci数列”，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。