口胡的CF2165E题解

最近(貌似并不最近)的一场CF的倒数第二题，赛后我补题时发现F是3500，E是3000+，所以赛时没做出来情有可冤

题意

定义一棵树的不便度为意两点之间路径上颜色种类的最大数量，说人话就是颜色最多的简便路径的颜色数

让你涂 \(k\) 个颜色，让不便度最小

解法

既然 \(k\in{1,2,3,4,...,n-1}\) ，我们不妨考虑一下特殊情况

当 \(k=n-1\) 时，不难发现答案就是树的直径。因为直径的中点就是到所有点的最大距离最小的点，而不方便度 \(=\) 颜色定义下的直径

若直径为偶数

我们可以让最外层的 \(\frac{k}{2} - 1\) 分配一种颜色，最外层的 \(\frac{k}{2} - 1\) 个点与根节点之间也要染一种颜色，总计有 \(\frac{k}{2}\) 种颜色。

此时，我们可以令任何剩余点为根

根据贪心，肯定要取度数尽量大的点为根

若直径为奇数

同理可得，即为该颜色块与其他点的距离最多为 \(\frac{k-1}{2}\)

于是，我们可以用多源BFS，复杂度 \(O(n)\)