插值算法

  一直想学习数值分析，无奈每次看到复杂的公式，各种证明就头疼，对于一个不是数学专业的人来说，其实能够掌握基本原理会实现代码就够了。最近看到王能超老师编写的一本《计算方法——算法设计及其Matlab》，感觉挺好的。我喜欢这种薄薄的书，能讲到要点，思路也很清楚，所以打算写下一点读书笔记。

    另外，重要能够在博客中写latex公式了，为了这再怎么也要写点东西。

    首先要讲的是插值算法，我们再日常工作和研究中常常需要做差值运算，例如图像插值，虽然是二维情况，但是跟一维原理是一样的。所以，插值问题可归结为以下情景，即已知一些列离散的点，$({x}_i,{y}_i),i=1,2,...,n$,目的是利用这些已知点求解任意给定的x所对应的y值，这些已知的${x}_i$称为插值节点。

    那么，如何充分利用这些已知点的信息呢？一种自然的想法是对插值点x，取与它邻近的已知点${x}_i$的${y}_i$值作为结果，只是精度不高而已。那么进一步向能够利用已知点的线性组合来得到插值结果呢？于是问题就变为如何选择系数${\lambda}_i$使得一下组合具有较高的精度,

$y = \sum_{i=0}^{n}{{\lambda}_iy_i}$

　在这里，${\lambda}_i$是关于x的函数。

   由于$y_i = f(x_i)$,所以，上式求得的y是f(x)的近似，那么插值所要解决的问题就是如何选取${\lambda}_i$所得y能够较准确地近似f(x)。另外，一般函数都能够用多项式近似代替，因此，为保证y具有较高的精度，只要令他对于尽可能多的代数多项式f(x)尽可能准确成立。

   定义1 如果近似关系$y\approx f(x)$对于幂函数$f = 1,x,x^2,...,x^m$均能准确成立，而对于$f = x^{m+1}$不准确，则可以说该近似关系具有m阶精度。

　下面以两点插值公式开始探讨Lagrange插值公式。

   一、Lagrange插值公式

   1、两点插值

    给定两个已知点$(x_0,y_0),(x_1,y_1)$,求形如$y = {\lambda}_0y_0+{\lambda}_1y_1$的插值公式。

    为此，令近似关系$y\approx f(x)$对y = 1,x均准确成立，即近似关系具有一阶精度。

\begin{cases}
f(1) = {\lambda}_0+{\lambda}_1 = 1&  \\
f(x) = {\lambda}_0x_0+{\lambda}_1y_0 = x&  
\end{cases}

    由该方程组可解得${\lambda}_0，{\lambda}_1$，则插值结果为

$y = \frac{x-x_1}{x_{0} - x_1}y_0+\frac{x-x_0}{x1-x_0}y_1$

    2、多点插值

       给定n个离散点$({x}_i,{y}_i),i=1,2,...,n$，求插值公式$y = \sum_{i=0}^{n}{{\lambda}_iy_i}$，由两点插值公式可以看到，n点插值具有n阶精度,即对于$f = 1,x,x^2,...,x^n$均准确成立，可得方程组 

其系数是范德蒙特行列式，运用Gramer法则，可求得根为

${\lambda}_i = \prod_{j=0 \\ j\neq i}^{n}{\frac{x-x_j}{x_i-x_j}},i=0,1,2,...,n$

  拉格朗日插值Matlab实现：

%输入插值节点x（数组），及对应的y（数组），xh为待插值点
function lagrange( x,y,xh )
%lagrange 拉格朗日多项式插值
%lagrange的公式为yh = ∑(y(i)∏((xh-xj)/(xi-xj)))  (i != j )
n = length(x);
m = length(xh);
yh = zeros(1,m);
c1 = ones(n-1,1);
c2 = ones(1,m);
for i=1:n
    xtemp = x([1:i-1 i+1:n]);
    yh = yh + y(i)*prod((c1*xh - xtemp'*c2)./(x(i)-xtemp'*c2));
end
plot(xh,yh,'b');
hold on;
plot(x,y,'r');
end