P & NP 问题

 

P & NP 问题是由Steve Cook于1971年首次提出，克雷数学研究所将它作为高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时，它也是计算机科学领域的最大难题。

下面先看看最基本的P类问题和NP问题：

P问题

　　P——Polynomial，多项式时间。P问题表示在多项式时间内可以解决的问题。时间复杂度为O(n), O(n^k), O(nlogn)的问题都能在多项式时间内解决，我们在数据结构与算法中的大部分问题如排序、找最短路径等都能在多项式时间内解决。

NP问题

　　NP——Nondeterministic Polynomial ，非确定多项式时间。NP问题表示不确定在多项式时间内是否能解决的一类问题。也就是说它可能能在多项式时间内解决，也可能不能。同时P问题是NP问题的一个子类，即所有的P问题都是NP问题。

 

NP问题的延伸

NPC问题

　　NPC问题即NP-Complete问题，是NP问题中最难的一类问题。

　　它的定义分为两个层面：

　　　　1. 它是一个NP问题；

　　　　2. 所有的NP问题都能在多项式时间内变换得到它。

　　它有一个很管用的性质：如果一个NPC问题存在多项式时间能解决的算法，那么所有NP问题都能在多项式时间内求解，也就能证明P=NP。这对于求解N是否等于NP有重大意义。

　　Steve Cook在 1971年找到了第一个NPC问题，此后人们又陆续发现很多NPC问题，现在可能已经有3000多个了。哈密顿回路问题，货郎担问题，集团问题，最小边覆盖问题等等很多问题都是NPC问题。

NPH问题

　　NPH问题即NP-Hard问题，它是比NPC还难的问题。它满足NPC问题定义的第二条，但是不满足第一条。比如一个问题A，若它不是NP问题，同时可以找到某一个NPC问题能再多项式时间内转换为A，则A是一个NPH问题。旅行商问题（TSP）就是一个NPH问题。

 

最后我们设想一下，假如P=NP，那么世界将变成怎样？

　　首先，所有的NPC问题将被全部解决。

　　困扰人类已久的自然语言处理问题将被一举攻破。

　　所有人工智能问题都将得到解决：我们只需向计算机提交足够多的情境以及与之对应的正常人的反应，计算机就可以找出一种能正确生成出这些反应的最简算法，完全模仿人类的行为。

　　数学证明可以全部交给计算机解决：寻找一个反例将变得和验证一个反例一样简单，一切错误的猜想都将瞬间被推翻。

　　任何密码算法都将成为徒劳：计算机可以通过一大批明文密文样本推算出生成密文的算法。