数字三角形——DP

数字三角形——DP典型例题(2006-11-15 20:23:45)

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分类： DP动态规划

数字三角形问题：

              7

             3 8

            8 1 0

           2 7 7 4

          5 5 2 6 5

示出了一个数字三角形宝塔。数字三角形中的数字为不超过100的正整数。现规定从最顶层走到最底层，每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走。假设三角形行数≤100，编程求解从最顶层走到最底层的一条路径，使得沿着该路径所经过的数字的总和最大，输出最大值。输人数据：由文件输入数据，文件第一行是三角形的行数N。以后的N行分别是从最顶层到最底层的每一层中的数字。
如输入： 5
7           
3 8         
8 1 0     
2 7 7 4     
4 5 2 6 5   
输出：30

【分析】对于这一问题，很容易想到用枚举的方法（深度搜索法）去解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和，然后寻找最大的数字总和

const maxn=100;
var
   a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
   max:longint;
   n,i,j:integer;
procedure try(x,y,dep:integer;sum:longint);
    begin
         if (dep=n)
            then begin
                 if sum>max
                    then  max:=sum;
                 exit
            end;
         try(x+1,y,dep+1,sum+a[x+1,y]);
         try(x+1,y+1,dep+1,sum+a[x+1,y+1])
    end;
begin
     assign(input,'in.in');reset(input);
     readln(n);
     for i:=1 to n do
         for j:= 1 to i do
             read(inputf,a[i,j]);
     max:=0;
     try(1,1,1,a[1,1]);
     writeln(max)
end.

 

逆推法:
按三角形的行划分阶段，若行数为 n，则可把问题看做一个n-1个阶段的决策问题。先求出第n-1阶段(第n-1行上各点)到第n行的的最大和，再依次求出第n-2阶段、第n-3阶段……第1阶段(起始点)各决策点至第n行的最佳路径。
设：f[i,j]为从第i阶段中的点j至第n行的最大的数字和；
则: f[n,j]=a[n,j]   1<=j<=n
    f[i,j]=max{a[i,j]+f[i+1,j],a[i,j]+f[i+1,j+1]}  1<=j<=i.
    f[1,1]即为所求。
const maxn=100;
var
   n,i,j:integer;
   a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
   f:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
begin
     assign(input,'in.in');reset(input);
     readln(input,n);
     for i:=1 to n do
         for j:=1 to i do
             read(inputf,a[i,j]);
     for i:=1 to n do
         f[n,i]:=a[n,i];
     for i:=n-1 downto 1 do
         for j:=1 to i do
             if f[i+1,j]>f[i+1,j+1]
                then f[i,j]:=a[i,j]+f[i+1,j]
                else f[i,j]:=a[i,j]+f[i+1,j+1];