孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1

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先介绍一个常见的算法，java中直接使用一个list来模拟，并使用一个索引cur类指向删除的位置，当cur的值为list的size，就让cur到头位置。

import java.util.*;
public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1||m<1){
            return -1;
        }
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        //构建list
        for(int i = 0;i<n;i++){
            list.add(i);
        }
        int cur = -1;
        while(list.size()>1){
            for(int i = 0;i<m;i++){
                cur++;
                if(cur == list.size()){
                    cur = 0;
                }
            }
            list.remove(cur);
            cur--;//cur--的原因，因为新的list中cur指向了下一个元素，为了保证移动m个准确性，所以cur向前移动一位。
        }
        return list.get(0);
    }
}

这个算法也比较好理解，但是可以看出来复杂度是很高的

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下面介绍一种数学方法，通过推导出递推式来解决

首先定义最初的 n 个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于 n 和 m 的方程为 f(n,m)。在这 n 个数字中，第一个被删除的数字是（m-1）%n，为简单起见记为 k。那么删除 k 之后的剩下 n-1 的数字为 0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是 k+1。相当于在剩下的序列中，k+1 排到最前面，从而形成序列 k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于 n 和 m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从 0 开始的连续序列），因此该函数不同于前面函数，记为 f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字 f(n,m) 一定是剩下序列的最后剩下数字 f’(n-1,m)，所以 f(n,m)=f’(n-1,m)。接下来我们把剩下的的这 n-1 个数字的序列 k+1,…,n-1,0,…k-1 作一个映射，映射的结果是形成一个从 0 到 n-2 的序列：

k+1 -> 0
k+2 -> 1
…
n-1 -> n-k-2
0 -> n-k-1
…
k-1 -> n-2

​ 把映射定义为 p，则 p(x)= (x-k-1)%n，即如果映射前的数字是 x，则映射后的数字是 (x-k-1)%n。对应的逆映射是 p-1(x)=(x+k+1)%n。由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，都是从 0 开始的连续序列，因此仍然可以用函数 f 来表示，记为 f(n-1,m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列最后剩下的数字 f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把 k=m%n-1 代入得到 f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

​ 经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。要得到 n 个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到 n-1 个数字的序列的最后剩下的数字，并可以依此类推。当 n=1 时，也就是序列中开始只有一个数字 0，那么很显然最后剩下的数字就是 0。我们把这种关系表示为：

​ 0 n=1
f(n,m)={
​ [f(n-1,m)+m]%n n>1

​ 尽管得到这个公式的分析过程非常复杂，但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的是，这是一种时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1) 的方法，因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。

public class Solution {
   public int LastRemaining_Solution(int n,int m) {
       if(n==0) return -1;
       
      int s=0;
       /*
       每次循环就是n+1，在循环中i的值和n的值是一致的
       */
      for(int i=2;i<=n;i++){
          s=(s+m)%i;
      }
      return s;
   }
}