[PGM] Exact Inference for calculating marginal distribution

如何在贝叶斯网络中求解某变量的边缘分布?

这是一个问题。


 

贝叶斯网络如下:

 

CPTs如下

 

 

(1) How to compute p( L | C = high )?


 

   p( L | C = high )

= p(L, C=high) / p(C=high)   // Bayesian Theorem. 

= Joint dist / p(C=high)  // 但是这里需要的却是joint dist!

 

求 Joint dist,便想到 变量消减,如下:

p( LC)

Σ ... Σ p(H) * p(L) * p(A) * p(V|H,L) * p(S|H,L) * p(C|V) * p(O|V,S) * p(B|O,T) * p(T|A)  // 积分掉与L,C没任何关系的部分,加和=1

ΣΣV p(H) * p(L) * p(V|H,L) * p(C|V)   // 可见,结果只保留了与L,C有关的部分;因为H,V与L,C有牵扯,所以没法加和消减掉变量

= p(LΣV p(C|VΣH p(H) * p(V|H,L) 

 

注意:消元的顺序不能胡来:

比如p(O|V,S)是可以最终消掉的,但O还作为了p(B|O,T)的条件部分,所以,

  • 先消掉p(B|O,T)  (如果B此时能消,也即是不在其他地方充当条件)
  • 然后才能消O。

之后就是穷举V, H的过程。 

 

先处理这一个部分: 

ΣH p(H) * p(V|H,L  // 可见,除了H,剩余的两个变量(V,L)需要穷举所有离散情况,以便消减掉H

 

1. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=true 

2. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=true ) = 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=true )   // 求出1,即自动得出2

 

3. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=false

4. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=false) = 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=false)   // 求出3,即自动得出4

 

计算过程:

1. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=true ) 等价于 p(V=low |L=true )

p(H=true) * p(V=low|H=true,L=true) + p(H=false) * p(V=low |H=false,L=true)   // 变为了可查表的形式

= 0.2 * 0.95 + 0.8 * 0.01

= 0.198

 

2. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=true ) 等价于 p(V=high|L=true )

= 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=true )

= 1 - 0.198

= 0.802

 

3. ΣH p(H) * p(V=low |H,L=false等价于 p(V=low |L=false)

p(H=true) * p(V=low|H=true,L=false) + p(H=false) * p(V=low |H=false,L=false)   // 变为了可查表的形式

= 0.2 * 0.98 + 0.8 * 0.05

= 0.236

 

4. ΣH p(H) * p(V=high|H,L=false) 等价于 p(V=high|L=false)

= 1 - ΣH p(H) * p(V=low|H,L=false)

= 1 - 0.236

= 0.764

 

 

再处理剩下的部分: 

p(L) * Σv p(C|V) * p(V|L  // 可见,除了V,剩余的两个变量(C,L)需要穷举所有离散情况,以便消减掉V

 

1. p(L=true ) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=true ) 

2. p(L=false) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=false)  // 注意,Σv外有p(L),故不能直接采用补集的方法计算

 

计算过程:

1. p(L=true ) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=true ) 等价于 p(L=true, C=high)

= p(L=true ) * p(C=high|V=low ) * p(V=low |L=true)p(L=true ) * p(C=high|V=high) * p(V=high|L=true ) 

= 0.05 * 0.01 * 0.198 + 0.05 * 0.7 * 0.802

= 0.028169

 

2. p(L=false) * Σv p(C=high|V) * p(V|L=false) 等价于 p(L=false, C=high)

= p(L=false) * p(C=high|V=low ) * p(V=low |L=false) + p(L=false) * p(C=high|V=high) * p(V=high|L=false) 

= 0.95 * 0.01 * 0.236 + 0.95 * 0.7 * 0.764

= 0.510302

 

 

Result: 

   pL | C = high )

= p(L, C=high) / { p(C=high) }  // Bayesian Theorem. 

= p(L, C=high) / { p(L=true, C=high) + p(L=false, C=high) }

= p(LC=high) / 0.028169 + 0.510302 }

可见,结果就是Bernoulli distribution with probability with theta = 0.028169/(0.028169 + 0.510302)=0.052312938

 

 

 

(2) Then, compute p( L | C = high ) using the Junction Tree Algorithm. 


 

1. Moralisation

2. Triangulation

得到clique:{A, T}, {O,T,B}, {V, S,O}, {V, C}, {V, H, L, S}

3. Construction of the junction tree

4. Assignment of potentials

ψ(CV)   = P(C|V)
ψ(VSO)  = P(O|V,S)
ψ(VHLS) = P(V|H,L)P(S|H,L)P(H)P(L)
ψ(OTB)  = P(B|O,T)
ψ(TA)   = P(T|A)P(A)
Φ(V) = Φ(VS) = Φ(O) = Φ(T) = 1

 

 根据以下算法更新evidence:

  

  From left to right: 

Φ(V) = 1

Φ*(V) = Σc ψ(CV) = Σc P(C|V) = P(C = high|V)

 

From right to left: 

Φ(T) = 1

Φ*(T) = Σa ψ(TA) = Σa P(T|A)P(A) = P*(T)

 

ψ(OTB) = P(B|O,T)

ψ*(OTB) = ψ(OTB) x Φ*(T)/Φ(T) = ψ(OTB)

 

Φ(O) = 1

Φ*(O) = Σtb ψ(OTB) = Σtb P(B|O,T) = 1

 

ψ(VSO) = P(O|V,S)

ψ*(VSO) = ψ(VSO) x Φ*(O)/Φ(O) = ψ(VSO)

 

Φ(VS) = 1

Φ*(VS) = Σψ(VSO) = ΣP(O|V,S) = 1

 

更新 { V H L S }:

   ψ*(VHLS)

= ψ(VHLS) x { Φ*(V) x Φ*(VS) } / Φ(V) x Φ(VS) }

= P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * { P(C = high|V) * 1 } / { 1 * 1 }

P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) 

 

注意:我们当下已获得了置信传播的一个结果,就是 ψ*(VHLS),消息从左右两边都传递到了这里。

接下来,我们会如何用这个结果呢?这个结果又能给我们带来怎样的好处呢?

 

以下用于下一步的类比参考。

(1)用置信传播结果表示边缘条件概率

(2)头上加了小弯弯表示是已知变量,就是条件部分的变量。

 

照猫画虎就是如下:

  p(L|C=high)

= p(L,C=high) / p(C=high)  // Bayesian Theorem. 

 

注意这里,分子分母的计算与传统方法比较时开始发生变化的地方,要体会。

已知:ψ*(VHLS)

分子:ΣVHS ψ*(VHLS)

分母:ΣVHSL ψ*(VHLS)

 

分母:(L这种情况下消不掉)

P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) 

变为:ΣVHL{ P(V|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) 

 

分子:

P(V|H,L) * P(S|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) 

变为:ΣVH P(V|H,L) * P(H) * P(L) * P(C = high|V) 

 

可见,还是变为了穷举V,H的结果,最终也得到了方案(1)相同的结论。

 

后记:

这个例子可能不太完美,建议自己做一次P(O|H=true, L=true, A=true)。过程当中尤其体会对变量A的处理。

因为A是条件中的变量,所以在方法一中不能消去,这导致了计算资源的浪费;

在方法二中,就没有这个问题。好运。

 

posted @ 2017-08-10 13:05  郝壹贰叁  阅读(211)  评论(0编辑  收藏  举报