一类生成树计数问题。

statement

给定数列 \(w_1,w_2\cdots w_n,w_i\in [1,m]\) ，考虑一个 \(n\) 个点的图，节点 \(i,j\) 之间的边的个数为 \(\sum\limits_{k=1}^m a_{k,w_i}b_{k,w_j}c_k\)，你需要求出这个图的生成树个数。

solution

设度数矩阵为 \(D\)，邻接矩阵为 \(G\)，由矩阵树定理，我们要计算 \(\det(D-G)\)（需要去掉一行一列，这个不影响啥）。

考虑令矩阵 \(A_{i,k}=a_{k,w_i}c_k\)，矩阵 \(B_{i,k}=b_{k,w_i}\) ，那么 \(G=AB^{T}\) 。

引理：Matrix Determinant Lemma
设 \(A\) 为方阵 ，\(u,v\) 为列向量 ，那么 \(\det(A+uv^T)=\det(A)\det(I+v^TA^{-1}u)\) ，证明略。

把这里的 \(u,v\) 换成 \(n\times m\) 的矩阵不影响正确性，综上：

\(\det(D-G)=\det(D-AB^T)=\det(D)\det(I_m-B^TD^{-1}A)\) 。

其中 \(D\) 是对角矩阵行列式好算，后面是一个 \(m\times m\) 的矩阵。

更具体的，我们考虑这个 \(m\times m\) 矩阵的每一个位置是啥：

首先 \(B^TD^{-1}\)，因为 \(D\) 是对角矩阵，所以逆矩阵就是把每个位置取逆。
那么\((B^TD^{-1})_{i,j}=b_{i,w_j}D^{-1}_{j,j}\) ，\((B^TD^{-1}A)_{i,j}=\sum_{k=1}^nb_{i,w_k}D^{-1}_{k,k}a_{j,w_k}c_j\) 。

直接计算行列式可以做到 \(O(n+m^3)\) 的复杂度。

很多题中，\(A,B\) 都是布尔矩阵，所以这个矩阵比较稀疏，使用稀疏矩阵消元可以做到更加优秀的复杂度。