2025.7.28 闲话：CF678E Another Sith Tournament 倒序状压 DP 的一点想法

\(f(S, x)\) 表示最开始 \(x\) 为擂主，参赛者集合为 \(S\) 时，最后 \(1\) 胜利的概率。

那么显然答案就是 \(\max_{x}\{f(U, x)\}\)，\(U\) 表示全集。

起始状态是 \(f(1, 1) = 100\%\)，表示只有 \(1\) 一个人参赛，且他自己为擂主时，\(1\) 获胜的概率为 \(100\%\)。

注意：整个 DP 是倒序 DP，\(f\) 表示的是某个初始状态下能得到所需最终结果的概率；所以转移的时候应该以后续状态计算前驱状态。

在转移时，枚举 \(x\) 的对手 \(y\)，\(x\) 和 \(y\) 都要在参赛者里。

考虑参赛者集合为 \(S\)，擂主 \(x\) 打 \(y\) 的所有结果：

1. \(x\) 赢了，概率为 \(a_{x, y}\)，后续 \(1\) 有 \(f(S - \{y\}, x)\) 的概率胜利
2. \(y\) 赢了，概率为 \(a_{y, x}\)，后续 \(1\) 有 \(f(S - \{x\}, y)\) 的概率胜利

两种情况加起来，再对每一个 \(y\) 取最小值即可。

顺便说一句，这题一定用的是集合的十进制表示小的推大的，所以可以直接顺序枚举。