2025.5.5 闲话：CF571D Campus 奇妙在线解法的一点想法

见此题解，细看解法妙不可言，虽然我觉得一点都不好想。

题解里关键句：

• 一看涉及到合并, 就想到了并查集
• 但有一些加啊, 赋值啊, 所以不可路径压缩, 那就按秩合并

一看就是并查集大佬。

题目中有很多把一个树根接到另一个树根上的操作，且没有断链操作，跟并查集的思想很像，所以大佬“一看就想到并查集”。

本人蒟蒻，不知道路径压缩能不能做加法、赋值等运算，但感觉应该很难，所以自然而然想到用另一种方法——路径压缩来优化复杂度。对于正确性：题目中每一个操作都是对树整体操作，所以父子关系改变不影响正确性（因为每次操作跟相对父子关系无关而只与那些点联通在一起有关）。

然后我们就可以愉快地用 \(\log\) 的按秩合并了。

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接下来看具体操作。

如果只有第一类集合，那么每次在树（第一类树）上正常合并，加法直接往根上加。那么最后能够影响到 \(x\) 的就是它到树根的所有祖先节点，一路爬上去就可以 \(log\) 求解了。这是一个前缀和思想。

但是我们有第二类集合的整树（第二类树）推平操作，这时就要考虑这个操作对第一类查询有何影响。

首先，如果第一类树中 \(x\) 的祖先 \(p\) 被 \(p\) 在第二棵树中的祖先 \(q\) 置零，那么这仅仅是 \(p\) 被置零而作为 \(p\) 后代的 \(x\) 已经被 \(p\) 加过一次了，\(p\) 现在置零对它当前的值没有影响，换言之，我们不需要关注 \(x\) 的祖先被置零的情况。（这一点让我迷惑了很久）

其次，我们必须考虑 \(x\) 自身被置零的情况，这个很简单，从 \(x\) 在第二类树中一路往上找祖先即可（其祖先节点的置零都会影响 \(x\)）对所有置零的事件取最大值即是 \(x\) 最后一次被置零的事件，从这以后 \(x\) 在第一类树中的加法操作才是有效的。

然后做法就出来了，找到最后置零时间后，在一类树中向上找到在该时间后的修改，加上即可。

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题解中特别强调了：

如果 \(x\) 的父亲和 \(x\) 相连时刻比标记的时间大，则标记对 \(x\) 是无效的，这点对 add 标记同理。

这是因为，如果发生了这种情况，那么这两个点相连的时间要晚于父节点操作的时间，这个父节点以前的操作也就影响不到 \(x\) 了，直接忽略掉即可。