2025.3.15 闲话：DeepSeek立大功——满足⌈a\x⌉≥b的最大整数x

人类还是太逊了，DeepSeek-R1 会给出答案，直接证伪我的假做法。

为了找到满足条件 \(\lceil \frac{a}{x} \rceil \ge b\) 的最大整数 \(x\)，我们可以将条件转换为不等式分析：

条件转换：

\(\lceil \frac{a}{x} \rceil \ge b\) 等价于 \(\frac{a}{x} > b - 1\)（因为向上取整后的值不小于 \(b\)，当且仅当原值严格大于 \(b-1\)）。

解不等式：

由 \(\frac{a}{x} > b - 1\) 得 \(x < \frac{a}{b - 1}\)。由于 \(x\) 是正整数，需找到满足该条件的最大整数 \(x\)。

处理边界情况：

当 \(\frac{a}{b-1}\) 是整数时，直接取整数部分减1；否则取整数部分。这可以统一表示为：

\[x=\left\lfloor\frac{a-1}{b-1}\right\rfloor \]

这里通过将分子减1，确保当 \(\frac{a}{b-1}\) 是整数时正确减去1。

验证示例：

若 \(a = 10\)，\(b = 3\)，则 \(x_{\text{max}} = \left\lfloor \frac{9}{2} \right\rfloor = 4\)，验证 \(\lceil \frac{10}{4} \rceil = 3 \ge 3\)。
若 \(a = 7\)，\(b = 3\)，则 \(x_{\text{max}} = \left\lfloor \frac{6}{2} \right\rfloor = 3\)，验证 \(\lceil \frac{7}{3} \rceil = 3 \ge 3\)。

结论：

当 \(b > 1\) 时，满足条件的最大整数 \(x\) 为：

\[\boxed{\left\lfloor \dfrac{a - 1}{b - 1} \right\rfloor} \]

学到的新技巧：

\[\begin{aligned} &\max\{x \in \Z \mid x<v\}\\ =& \begin{cases} v-1, \text{if } v \in \Z \\ \lfloor v \rfloor, \text{otherwise.} \end{cases}\\ =& \lfloor v-\Delta \rfloor \end{aligned} \]

其中，\(\Delta\) 是一个极小数，使得不存在 \(d \in \Z\) 使得 \(v \in [d,d+\Delta)\)，即 \(\{v\} \ge \Delta\)（\(\{v\}\) 表示 \(v\) 的小数部分）。

在这里，\(\Delta\) 取值为 \(\frac{1}{b-1}\)，满足条件。故：

\[\max\left\{x \in \Z \mid x < \frac{a}{b - 1}\right\} = \left\lfloor \frac{a}{b - 1} - \frac{1}{b-1} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{a-1}{b-1}\right\rfloor \]