2025.2.14 闲话：二段性贪心单调队列

题目：P5665 [CSP-S2019] 划分，题意不重要，简化一下直接上方程：

\[f_i = \max j \quad\text{s.t.}\quad j<i, b_j \le a_i \]

保证 \(a_i\) 单调递增。

人话：找左边最近的使 \(b_j \le a_i\) 的 \(j\)，要求均摊 \(O(1)\)。

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错误想法：单调栈

关键词：“最近的”，尝试使用单调栈，然后被 Hack 了：

a: 3 4 5
b: 1 6 2

先来通过一个单调栈例题看一下单调栈的工作方式和贪心策略：

找左边最近的使得 \(a_j<a_i\) 的 \(j\)。

单调栈在此的贪心策略为：如果 \(j<i\) 且 \(a_j \ge a_i\)，那么 \(i\) 永远比 \(j\) 更优，可以用反证法：

假设存在 \(j<i<k\)，且 \(j\) 是距离 \(k\) 最近的使 \(a_j<a_k\) 的点。因为 \(a_i \le a_j\)，所以 \(a_i<a_k\)。又因为 \(i\) 距离 \(k\) 更近，所以 \(i\) 才应该是满足条件最近的点，与假设矛盾，故 \(j\) 不可能在后面成为答案。

现在模仿这个反证法来反推这个结论如何修改才能对本题适用：

假设存在 \(j<i<k\)，且 \(j\) 是距离 \(k\) 最近的使得 \(b_j \le a_k\) 的点。我们需要一些条件来推出 \(b_i \le a_k\) 才能推出矛盾，但是 \(b_j \le a_k\) 和 \(b_i \le a_k\) 显然不能只用 \(i\) 和 \(j\) 之间的关系连接起来。因此，这道题没有单调栈可以用的贪心策略。

所以这道题用不了单调栈，我打了个假算法。

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正确做法：单调队列

曾经我以为单调队列维护的只能是移动区间最值问题，但是这道题颠覆了我的想法。

这应该算是一种新型单调队列，具有以下特点

1. 单调队列需要通过某种贪心的思想，排除掉一定不是最优答案的选项（这个和普通单调队列是一样的）。
2. 单调队列内存储的元素可以不是合法元素（但要求计入答案的时候合法），而是将来有潜力成为答案的元素。
3. 队内元素从头到尾依次更优（单调性）。
4. 当 \(i\) 确定的时候，合法答案聚集于队头一边，非法答案聚集于队尾一边。
5. 对 \(i\) 合法的答案对 \(i+1\) 也合法，这样可以保证不会误弹出队首。
6. 最优元素是最后一个合法的元素

与普通单调队列相比，贪心排除答案、队内元素均有潜力、元素单调性是相同的；不同的是这种单调队列不再要求队内元素均合法（2），而是要求合法答案具有单调性（5）和二段性（4）。

同时它所求解的问题（6）也和普通单调队列有所不同：找最后一个合法元素。这里它所求解的问题更类似于二分查找所求解的问题，不过如果有了随着 \(i\) 右移，答案点（合法区间）单调不降的特征，那么就可以用这种新型单调队列省去一个 \(\log\) 的复杂度。