基本矩阵与本质矩阵

基本矩阵与本质矩阵

基本矩阵与本质矩阵的数学推导：

假设空间中一点$P = [X, Y, Z]^T$。

P在相机A相平面坐标为$P_A = [x_A, y_A, 1]^T$;

P在相机B相平面坐标为$P_B = [x_B, y_B, 1]^T$;

相机A与相机B的内参矩阵为$K$，即可以假设A、B是同一个相机，但是空间位姿不同。

假设：

• \(P_A = K · (R_A · P + T_A)\) （0）
• \(P_A = K · P\) （1）

即，设$P$相对与相机A的旋转矩阵$R_A$与平移矩阵$T_A$为初始值（\(R_A = I, T_A = 0\)），因为总要有一个参考系，此处就是假设相机A为参考系。

对相机B又可以得到：

• \(P_B = K · (R_B · P + T_B)\) （2）

此处，\(R_B\)、$T_B$示在$P$相机B坐标系的相对于在相机A（初始）坐标系下的旋转与平移。

由（1）得到$P = K^{-1} · P_A$ ，

代入（2）得到：

• $P_B = K · (R_B · K^{-1} · P_A + T_B) $ （3）

给"="左右左乘上$K^{-1}$，则有：

• \(K^{-1} · P_B = R_B · K^{-1} · P_A + T_B\) （4）

左右左乘$T_$ （ \(T_{Bx}\) 满足 \(T_{Bx} · C = T_B \times C\)）消去$T_B$，得到：

• \(T_{Bx} · K^{-1} · P_B = T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A\) （5）

对（5）左右左乘$(K^{-1} · P_B)^T$得到：

• \((K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · K^{-1} · P_B = (K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A\) （6）

由于$T_ · (K^{-1} · P_B)$ 垂直与 \(T_B\) 与$(K^{-1} · P_B)$ ，所以（6）“=” 左边为0， 即：

• \((K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A = 0\) （7）

整理得：

• \(P_B^T · {K^{-1}}^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A = 0\) （8）

得到的（8）即为最终表达式，又：

• \(F = {K^{-1}}^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1}\) （基础矩阵）
• \(E = T_{Bx} · R_B\) （本质矩阵）

从而，\(B^T · F · P_A = 0\) （×）

极线推导：

对（×），可以知道，不同两个位姿拍摄的同一地点的两个（或一个）相机，获取的基础矩阵$F$是固定的。

那么，不妨代入一已知点$P_t = [x_t, y_t, 1]^T$，令$P_A = P_t$，得：

• \(P^T · F · P_t = 0\) （9）

其中$F$为[3 x 3]矩阵，$P_t$为[3 x 1]矩阵，那么$F · P_A$ 为一个[3 x 1]矩阵，记为$Q = [fp_1, fp_2, fp3]^T$

又$P^T$ 为 [1 x 3]矩阵，\(P^T = [x, y, 1]\)，则$P · Q = 0$展开为：

• \(x \times fp_1 + y \times fp_2 + fp_3= 0\) （10）

因$Q$为已知，故（10）为二元一次方程，可以确定一条直线，称为极线