P6579 [Ynoi2019] Happy Sugar Life 不要成为时代的眼泪啊

提供一种离线线性空间的写法，跑的超级快，完全没有卡常最大点都小于时限的一半。

题意

\(q\) 次询问求区间 \([l,r]\) 中值域为 \([a,b]\) 的顺序对。

做法

由于非强制在线，考虑拆分贡献。以值为 \(y\) 坐标，下标为 \(x\) 坐标建立坐标图，将一次询问抽象成这样：

及求第四部分内的顺序对数量。记我们的顺序对为 \((i,j)\)，先考虑只有 \(j\) 有必要在第四部分内的总贡献 —— 对原图做一次扫描线算出每个点有多少个在之前的逆序对，在做一次扫描线算出只有 \(j\) 在第四部分内的总贡献。

因为我们不仅算了 \(a\) 在第四部分的贡献，也算了 \(a\) 在第一二三部分的贡献，所以需要容斥。

\(a\) 在第一部分：发现所有在第一部分的点都会对在第二部分的点产生贡献，区间二维数点后乘起来直接减掉就好了。

难点在于 \(a\) 位于第二或第三部分的贡献。因为我们前面根本没用到根号算法，所以肯定是分块。

第二第三部分实质上是一样的，以第三部分为例，将区间分块，发现尽管对于块内贡献的本质不同的询问不超过 \(O(B^2)\) 个，我们预处理也会爆空间，需要逐块处理。我们记 \(f_{l,r}\) 表示值域 \([l,r]\) 中的顺序对数量，我们发现 \(f_{i,j-1}\) 可以拆分成 \(f_{i+1,j-1}\) 加上 \(i\) 对区间 \([i+1,j-1]\) 的贡献，\(f_{i+1,j}\) 又可以拆分为 \(f_{i+1,j-1}\) 加上 \(j\) 对 \([i+1,j-1]\) 的贡献。这样我们发现 \(f_{i+1,j}+f_{i,j-1}-f_{i+1,j-1}\) 与 \(f_{i,j}\) 只相差了 \(i\) 与 \(j\) 产生的贡献，这样我们就得到了转移方程，用类似于区间动态规划的写法预处理即可。用 \(f_{1,b}-f_{a,b}-f_{1,a}\) 就能得出块内第三个部分对第四部分的贡献。

至于散块与整块之间和整块到整块之间的贡献，记值 \(dn\) 表示小于 \(a\) 的数的个数，从左到右枚举，然后用值域在 \([a,b]\) 之间的数一乘就做完了，记得更新 \(dn\) 的值要在计算贡献之后，因为块内的贡献我们上一步算完了。

对于第二部分，我们不妨用同样的方法做（因为保证了是个排列）也可以统计出贡献。

这样就做完了这道分块题。