P9212 「蓬莱人形」简要做法

题意简述

给定一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(q\) 次询问，每次询问给定 \(l,r,x,y,m\)，让你求满足有多少个 \(i \in [l,r]\) 满足 \((a_i+x)\bmod m<(a_i+y)\bmod m\)，可以认为 \(n,q\) 同阶。

题目做法

这个真的太模板了吧。

首先注意到当 \(x < y\) 时，你的询问是在查询 \(a_i + x\) 与 \(a_i + y\) 都比 \(m\) 大或都比 \(m\) 小的 \(i\) 的个数，等价于两段值域数点，当 \(x > y\) 时，你的询问是查询 \(a_i + x\) 大于 \(m\) 而 \(a_i + y\) 小于 \(m\) 的 \(i\) 的个数，也是一段值域数点。

然后看到是在模 \(m\) 意义下，其中 \(m\) 每次询问给定，那就很难想不到根号分治，于是分成两部分。

• 当查询的 \(m\) 小于 \(\sqrt n\) 时：

考虑预处理出 \(b_{i,j}\) 表示 \(a_j\) 在模 \(i\) 意义下值，然后分块。

如果询问落在散块显然可以直接暴力，对于落在整块的询问可以统计 \(f_{i,j,k}\) 表示第 \(j\) 个块在模 \(i\) 意义下前 \(k\) 个数出现了多少次，询问对于每个块差分一下即可，当然你可以将 \(j\) 这一位做前缀和，但是没有意义。

• 当查询的 \(m\) 大于 \(\sqrt n\) 时：

你直接把询问拆成 \(\mathcal O(n \sqrt n)\) 个，然后做二维数点。

这个二位数点是有 \(\mathcal O(n)\) 次修改，\(\mathcal O(n \sqrt n)\) 次询问的，你直接使用 \(\mathcal O(\sqrt n) - \mathcal O(1)\) 的分块平衡一下就好了。