P12536 [XJTUPC 2025] 我永远喜欢希儿·芙乐艾 最优解

题意

给定一个大小为 \(n\) 的树，有 \(m\) 个树链加，然后给定 \(q\) 次操作，操作分三种，其一是执行编号 \(L\) 到 \(R\) 的树链加，其一是查询子树和，其一是换根，要求空间线性。

做法

看起来究极困难，让我们考虑一些子问题。

子问题1

区间加，区间和怎么使用树状数组做，当然使用线段树可以做到 \(\mathcal O(\log n)\)，但是用树状数组做更具启发性。

你发现还是存储差分后的数组，然后每次询问就会变成 \(\sum^{r}_{i=l} (r-i+1) \times a_i\) 状物，拆一下发现 \((r+1) \times a_i\) 就是普通树状数组，\(i \times a_i\) 依旧是普通树状数组，于是做完了。

子问题2

树链加，子树和怎么做。

这个东西 \(\mathcal O(\log^2 n)\) 相当简单，但是不够优秀，树链剖分没什么优化空间。

于是你考虑在树上差分，修改时直接对这两个点上加，然后在它们的最近公共祖先与最近公共祖先的父亲处减。

查询还是把子树拍成区间，记 \(dep_i\) 表示 \(i\) 的深度，询问就变成 \(\sum^{r}_{i=l} (dep_i-dep_x+1) \times a_i\)，这个东西与上个问题一样拆成两个树状数组即可做。

时间复杂度是树状数组的单 \(\log\)，所以很优秀。

原问题

至此你已经会了这题 \(\mathcal O(n^2 \log n)\) 的做法，于是有超级显然的优化，对操作序列分块。

于是操作序列的整块可以用上文差分转两次树上前缀和的方式完成，第一次树上前缀和还原出树，第二次树上前缀和方便我们查询块对子树的影响。

这是块修改可以直接让标记加一，询问时每个块直接 \(\mathcal O(1)\) 查询。

对于散块，我们可以用上文的树状数组。

两相平衡，复杂度为 \(\mathcal O(n\sqrt{ n\log n})\)。

注意到整块的空间复杂度与散块的时间复杂度双双爆炸，考虑进一步优化。

整块对于每一个块逐块处理，这一步是简单的。

对于散块，树状数组能维护的东西显然也可以使用 \(\mathcal O(1) - \mathcal O(\sqrt n)\) 的 分块维护。

于是空间复杂度降到了 \(\mathcal O(n)\)，时间复杂度变成了 \(\mathcal O(n \sqrt n)\)。

于是我们做完了……吗？

发现换根操作被我们遗忘了，其实换根是假的，换根对树链加完全没有影响。子树和时如果根不在子树内也不会有影响，如果查询的是根可以输出全局和，如果根在查询的子树内直接用全局和减去根所在的子树和即可，于是就真的做完了。

代码

一定要预处理树链修改的最近公共祖先，不然你就会像我一样卡常，结果一预处理直接拿到最优解。

可以使用倍增求最近公共祖先而非树剖，空间复杂度劣一点问题不大，但是得使用链式前向星。

代码调试信息太长了，不想放。