欧拉函数-gcd-快速幂（牛客寒假算法基础集训营1-D-小a与黄金街道）

题目描述：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/317/D
来源：牛客网

小a和小b来到了一条布满了黄金的街道上。它们想要带几块黄金回去，然而这里的城管担心他们拿走的太多，于是要求小a和小b通过做一个游戏来决定最后得到的黄金的数量。
游戏规则是这样的：
假设道路长度为$\mathrm{nn米(左端点为00，右端点为nn)，同时给出一个数kk(下面会提到kk的用法)\; 设小a初始时的黄金数量为AA，小b初始时的黄金数量为BB\; 小a从11出发走向n-1n-1，小b从n-1n-1出发走向11，两人的速度均为1m/s1m/s\; 假设某一时刻(必须为整数)小a的位置为xx，小b的位置为yy，若gcd(n,x)=1gcd(n,x)=1且gcd(n,y)=1gcd(n,y)=1，那么小a的黄金数量AA会变为A\ast kx(kg)A\ast kx(kg)，小b的黄金数量BB会变为B\ast ky(kg)B\ast ky(kg)\; 当小a到达n-1n-1时游戏结束\; 小a想知道在游戏结束时A+BA+B的值\; 答案对109+7109+7取模}$

$\mathrm{输入描述：}$

$\mathrm{一行四个整数n,k,A,Bn,k,A,B}$

输出描述：

输出一个整数表示答案

示例1：

输入：

4 2 1 1

输出：

32

说明：

初始时$\mathrm{A=1,B=1A=1,B=1}$

第一个时刻如图所示，小a在$\mathrm{11，小b在33，满足条件，此时A=1\ast 21=2,B=1\ast 23=8A=1\ast 21=2,B=1\ast 23=8}$

 

第二个时刻小a在$\mathrm{22，小b在22，不满足条件}$

 

第三个时刻小a在$\mathrm{33，小b在11，满足条件，此时A=2\ast 23=16,B=8\ast 21=16A=2\ast 23=16,B=8\ast 21=16}$

此时游戏结束$\mathrm{A=2\ast 23=16,B=8\ast 21=16A=2\ast 23=16,B=8\ast 21=16}$

$\mathrm{A+B=32A+B=32}$

示例2：

输入：

5 1 1 1

输出：

2

备注：

保证$\mathrm{3⩽n⩽108,1⩽A,B,k⩽10133⩽n⩽108,1⩽A,B,k⩽1013}$

 

$\mathrm{解析：}$

$\mathrm{若gcd\; (𝑛,𝑥)\; =\; 1，那么gcd\; (𝑛,𝑛\; -\; 𝑥)一定等于1可知与n互质的数一定是成对出现的，而且两人从两端走所以}$

$\mathrm{x和}$$\mathrm{n-x一定同时走到每对互质的数一共会给两人分别带来收益。}$

 

 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 1e9+7;
/**
 *  生成欧拉函数表
 *  适用于n很小的情况下，可以用欧拉筛法
 */
//
//特性 :
//1.若a为质数,phi[a]=a-1;
//2.若a为质数,b mod a=0,phi[a*b]=phi[b]*a
//3.若a,b互质,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数时,if b mod a!=0 ,phi[a*b]=phi[a]*phi[b])
//
/*
int n;
int u[n],phi[n],su[n],numsu;
//u[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;su是存放素数的数组;numsu是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int make()
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!u[i])//i为素数
        {
            su[++numsu]=i;//将i加入素数数组su中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知
        }
        for (int j=1;j<=numsu&&su[j]*i<n;j++)  //用当前已的到的素数数组u筛,筛去su[j]*i
        {
            u[su[j]*i]=1;//可以确定i*su[j]不是素数
            if (i%su[j]==0) //看su[j]是否是i的约数,因为素数su[j],等于判断i和su[j]是否互质
            {
                phi[su[j]*i]=phi[i]*su[j]; //特性2
                break;
            }
            else phi[su[j]*i]=phi[i]*(su[j]-1); //互质,特性3其,su[j]-1就是phi[su[j]]
        }
    }
}
*/

/**
 *  欧拉函数，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）
 *  适用于n很大的情况
 */
long long phi(long long n)
{
    long long res = n;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++){
        if(n % i == 0) {
            res -= res/i;
            while(n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if(n>1)
        return res -= res/n;
    return res;
}

/**
 *  快速幂 a的b次方
 *  mod 为需要取模的数
 */
long long pow_mod(long long a, long long b)
{
    if(b == 0) return 1 % mod;
    long long ret = pow_mod(a, b/2);
    ret = ret * ret % mod;
    if(b % 2 == 1) ret = ret * a % mod;
    return ret;
}

int main()
{
    int n;
    long long k, A, B;
    cin >> n >> k >> A >> B;
    cout << ((A+B) * pow_mod(k, phi(n)/2 * n)) % mod << endl;
    return 0;
}

 

大佬勿喷