Prime Number—— 定义、判定与经典算法

Homework to Blog：素数探秘 —— 定义、判定与经典算法

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一、什么是素数？

素数（Prime Number），又称质数，是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外，不再有其他因数的数。

• 例如：2、3、5、7、11、13 ……
• 特别地，2 是最小的素数，也是唯一的偶素数。
• 1 既不是素数也不是合数。

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二、为什么素数很重要？

素数被誉为“数字的原子”，它们是数论的基础，在密码学（如 RSA 加密）、哈希算法、随机数生成等领域都有广泛应用。理解素数，是进入计算机科学与数学深层领域的第一步。

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三、如何判断一个数是否为素数？

1. 最朴素的试除法

对于一个数 ( n )，检查从 2 到 ( n-1 ) 是否存在能整除 ( n ) 的数。若存在，则 ( n ) 是合数；否则是素数。

时间复杂度：( O(n) )，对大的 ( n ) 效率极低。

2. 优化一：只需检查到 ( \sqrt{n} )

如果 ( n ) 有一个大于 ( \sqrt{n} ) 的因数，那么它必然有一个小于 ( \sqrt{n} ) 的因数。因此只需检查 2 到 ( \sqrt{n} ) 即可。

时间复杂度：( O(\sqrt{n}) )

3. 进一步优化：跳过偶数

除了 2 以外，所有偶数都不是素数。可以单独处理 2，然后只检查奇数。

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四、Java 代码示例：判断素数

public class PrimeChecker {
    public static boolean isPrime(int n) {
        if (n <= 1) return false;
        if (n == 2) return true;
        if (n % 2 == 0) return false;
        
        int limit = (int) Math.sqrt(n);
        for (int i = 3; i <= limit; i += 2) {
            if (n % i == 0) return false;
        }
        return true;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] testNumbers = {2, 3, 4, 17, 25, 97, 100};
        for (int num : testNumbers) {
            System.out.println(num + " 是素数？ " + isPrime(num));
        }
    }
}

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