P4568 [JLOI2011]飞行路线 - 分层图最短路

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本文标题:P4568 [JLOI2011]飞行路线 - 分层图最短路

文章作者:gyro永不抽风

发布时间:2020年09月18日 - 17:09

最后更新:2020年09月19日 - 19:09

原始链接:http://hexo.gyrojeff.moe/2020/09/18/P4568-JLOI2011-%E9%A3%9E%E8%A1%8C%E8%B7%AF%E7%BA%BF-%E5%88%86%E5%B1%82%E5%9B%BE%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF/

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题目

题目描述

Alice 和 Bob 现在要乘飞机旅行,他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在nn个城市设有业务,设这些城市分别标记为 00n1n-1,一共有 mm 种航线,每种航线连接两个城市,并且航线有一定的价格。

Alice 和 Bob 现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市,途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠,他们可以免费在最多 kk 种航线上搭乘飞机。那么 Alice 和 Bob 这次出行最少花费多少?

输入格式

第一行三个整数 n,m,kn,m,k,分别表示城市数,航线数和免费乘坐次数。

接下来一行两个整数 s,ts,t,分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。

接下来 mm 行,每行三个整数a,b,ca,b,c,表示存在一种航线,能从城市 aa 到达城市 bb,或从城市 bb 到达城市 aa,价格为 cc

输出格式

输出一行一个整数,为最少花费。

输入输出样例

输入 #1
5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100
输出 #1
8

说明/提示

数据规模与约定

对于 30%30\% 的数据,2n50,1m300,k=02 \le n \le 50,1 \le m \le 300,k=0

对于 50%50\% 的数据,2n600,1m6×103,0k12 \le n \le 600,1 \le m \le 6\times10^3,0 \le k \le 1

对于 100%100\% 的数据,2n104,1m5×104,0k10,0s,t,a,bn,ab,0c1032 \le n \le 10^4,1 \le m \le 5\times 10^4,0 \le k \le 10,0\le s,t,a,b\le n,a\ne b,0\le c\le 10^3

另外存在一组 hack 数据。

题解

由于可以有$k$次免费,这里构建分层图:

  • 有$k+1$层完全一样的图
  • 每条边在层与层之间单向连接,但是费用为0

那么这样构建的图的第$i$层的$t$点就是免费了$i - 1$次的最小费用。

方程:

$$ \text {ans} = \min _ {0 \leq i \leq k} \text {dis} [t_i] $$

常见问题

  • 如何防止从下面的层去上面?单向
  • 如何建图?思考一下OpenCV当中的图像,其实他们的内存地址是连续的,所以我们可以把他们放在一个一维数组当中,只不过开了$n\times k$个点罢了。

图片(Ref @SuperJvRuo)

代码

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#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#define int long long

using namespace std;

int ecnt = 2;
int n, m, k, s, t;
int head[150005], dis[150005], vis[150005];
struct edge { int to, next, w; } g[3000001];
void add_edge(int u, int v, int w) { g[ecnt] = (edge) { v, head[u], w }; head[u] = ecnt ++; }
void add_edge(int u, int v, int w, int l) { add_edge(u + l * n, v + l * n, w); }

struct node {
int dis, pos;
friend bool operator < (const node &a, const node &b) { return a.dis > b.dis; }
};
priority_queue<node> q;

void dijkstra() {
for (int i = 0; i <= n * (k + 1) + 100; i ++) dis[i] = 8e18;
dis[s] = 0; q.push((node) { dis[s], s });
while (!q.empty()) {
int u = q.top().pos; q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for (int e = head[u]; e; e = g[e].next) {
int v = g[e].to;
if (dis[v] > dis[u] + g[e].w) {
dis[v] = dis[u] + g[e].w;
q.push((node) { dis[v], v });
}
}
}
}

signed main() {
cin >> n >> m >> k >> s >> t;
for (int i = 1; i <= m; i ++) {
int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
for (int j = 0; j <= k; j ++) {
add_edge(u, v, w, j);
add_edge(v, u, w, j);
}
for (int j = 0; j < k; j ++) {
add_edge(u + j * n, v + (j + 1) * n, 0);
add_edge(v + j * n, u + (j + 1) * n, 0);
}
}
dijkstra();
int ans = 8e18;
for (int i = 0; i <= k; i ++)
ans = min(ans, dis[t + i * n]);
cout << ans << endl;
return 0;
}
posted @ 2020-09-19 00:11  gyro永不抽风  阅读(78)  评论(0编辑  收藏  举报