中值定理笔记

高等数学-高汝熹 4.1 中值定理

罗尔定理
- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，而再开区间$(a,b)$可导，且在端点处$f(a)=f(b)$，则在区间$(a,b)$内比存在一点$\xi$使得$f’(\xi)=0$。
- 几何意义：对于$f(x)$，其需要连续且可导，在这种情况下，其两端点的函数值相等，则在$(a,b)$上必有一点的切线平行于$x$轴。
- 证明：
  
  对于$f(x)$，设其在开区间$(a,b)$中，可以取到最大值$M$和最小值$m$，有两种情况需要讨论：
1. $M=m$时：
  
  此时最大值和最小值相等，都在同一直线上，说明点$a,b$之间为一条直线，在这种情况之下，函数上处处导数为0，得证，可以找到$\xi$使得$f’(\xi)=0$，此时$\xi$可以去$(a,b)$之间的一切实数。
2. $M\ne m$时：
  
  我们不妨设$f(a)\ne M,f(\xi)=M$则可得：
  
  $$ \begin{align*} f(x+\Delta x) \le f(x) \end{align*} $$
  移项，可得：
  
  $$ \begin{align*} f(\xi+\Delta x)-f(\xi)\le 0 \\\\ \Delta x >0: \frac {f(\xi+\Delta x)-f(\xi)}{\Delta x} \le 0 \\\\ \Delta x <0: \frac {f(\xi+\Delta x)-f(\xi)}{\Delta x} \ge 0 \\\\ \end{align*} $$
  由于连续，可导所以以下极限必定存在：
  
  $$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} = f'(\xi) \end{align*} $$
  通过（1）、（2）两式可对其求单侧极限：
  
  $$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to +0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} \le 0 \\\\ \lim_{\Delta x \to -0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} \ge 0 \end{align*} $$
  即：
  
  $$ \begin{align*} f'(\xi) =\lim_{\Delta x \to 0} {\frac {f(\xi + \Delta x) - f(\xi)}{\Delta x}} = 0 \end{align*} $$
  得证。
拉格朗日中值定理
- 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，在开区间$(a,b)$内可导，则在开区间$(a,b)$内必定存在$\xi$使得：
$$ \begin{align*} f(b)-f(a)=(b-a)f'(\xi) \end{align*} $$
成立。
- 几何意义：我们可以注意到(6)式可以改写成：
- $$ \begin{align*} f'(\xi)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*} $$
  也就是说函数上必定存在一点$\xi$使得$f’(\xi)$等于$a,b$两点的切线斜率，即其平行于此点处的切线。
- 证明：
  首先，构造函数：
- $$ \begin{align*} \varphi(x) = f(x)-f(a)-\frac {f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \end{align*} $$
  很容易的出结论：$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。也就是说$\varphi(x)$满足罗尔定理的一切条件，即可得式(5)的结论。
  
  设此点为$\xi$则必有：
  
  $$ \begin{align*} \varphi'(\xi)=0 \end{align*} $$
  成立，即：
  
  $$ \begin{align*} \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac {f(b)-f(a)}{b-a}=0 \end{align*} $$
  $$ \begin{align*} f'(\xi)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*} $$
  得证。
- 拉格朗日中值定理的应用：
  
  由于(6)式，令$b=x+\Delta x$，$a=x$，所以$\xi$可以被表示为$x+\theta\Delta x$的形式：
  
  $$ \begin{align*} f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta\Delta x)\Delta x\\\\(0<\theta<1) \end{align*} $$
  又因为微分表达式：
  
  $$ \begin{align*} \text{d}y=f'(x)\Delta x \end{align*} $$
  所以拉格朗日中值定理给出的表达式就是微分的精确值，当$\Delta x$很小时，误差不大，但是当其变大时，可能产生相当严重的误差。
- 拉格朗日中值定理的推论：
  - 推论1：
    
    如果在开区间$(a,b)$内，恒有$f’(x)=0$，则$f(x)$在区间内恒为常数。
    
    证明：
    
    设$x_1,x_2\in (a,b)$且$x_1<x_2$，则会有$\xi\in(x_1,x_2)$，使得：
    
    $$ \begin{align*} f'(\xi)=\frac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_2}=0 \end{align*} $$
    故有
    
    $$ \begin{align*} f(x_2)=f(x_1) \end{align*} $$
    由于其对区间内的一切实数都成立，所以其函数值在区间内恒为常数。
  - 推论2：
    
    如果在开区间$(a,b)$内恒有$f’(x)=g’(x)$成立，则有：
    
    $$ \begin{align*} f(x) = g(x) + C \end{align*} $$
    其中C为常数。
    
    由此推论可得：如果两函数在开区间内导数值处处相等，则这两个函数在此区间内只差一个常数。
    
    证明：
    
    构造函数$\varphi(x)=f(x)-g(x)$，由于$\varphi’(x)=0$在区间内恒成立，所以根据推论2，有：
    
    $$ \begin{align*} \varphi(x)=C \end{align*} $$
    所以：
    
    $$ \begin{align*} f(x)=g(x)+C \end{align*} $$
    得证。
柯西中值定理
- 若$F(x),f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，在开区间$(a,b)$可导，$F’(x)$在区间内均不等于$0$，$F(x)$在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得：
  
  $$ \begin{align*} \frac {f(b)-f(a)} {F(b)-F(a)}=\frac {f'(\xi)} {F'(\xi)} \end{align*} $$
  成立。
- 几何意义：
  
  设参数方程：
  
  $$ \begin{align*} \begin{cases} x = F(t) & a \le t \le b \\\\y=f(t) & a \le t \le b \end{cases} \end{align*} $$
  表示$(f(a),F(a)),(f(b),F(b))$两点之间的曲线，
  
  对其进行求导：
  
  $$ \begin{align*} y=f(t)=f[F^{-1}(x)] \\\\ y'(x)=\frac {\text{d}y}{\text{d}x}=\frac {\text{d}y}{\text{d}t}\frac {\text{d}t}{\text{d}x}=f'(x)[F^{-1}(x)]'=\frac {f'(x)}{F'(x)} \end{align*} $$
  我们可以发现其描述的就是在这条曲线上必有一点$\xi$的切线与这两点的连线平行，其中$\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$表示的就是两点之间的连线的斜率。
- 证明：
  
  在证明之前，有一点值得论述：定理已经给出条件$F’(x)\ne0,x\in (a,b)$我们会发现$F(b)-F(a)$不可以等于$0$，否则$F(a)=F(b)$满足罗尔定理的条件，会得出$F’(x)=0$与原条件矛盾，所以此处不必指明$F(b)-F(a)\ne 0$，只需$F’(x)\ne0,x\in (a,b)$即可。
  
  首先，构造函数：
  
  $$ \begin{align*} \varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}(F(x)-F(a)) \end{align*} $$
  不难看出，与拉格朗日中值定理的证明过程相似，有$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。所以满足罗尔定理，可得：有$\xi$存在，使得
  
  $$ \begin{align*} \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)=0 \end{align*} $$
  成立，所以得证。

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