算法学习笔记(8.1): 网络最大流算法 EK, Dinic, ISAP
网络最大流
前置知识以及更多芝士参考下述链接
网络流合集链接：网络流
最大流，值得是在不超过管道（边）容量的情况下从源点到汇点最多能到达的流量
抽象一点：使 \(\sum_{(S, v) \in E} f(S, v)\) 最大的流函数被称为网络的最大流，此时的流量被称为网络的最大流量
有了最大流量，就可以通过奇奇怪怪的建模解决很多令人摸不着头脑的题
例如二分图：
对于一张二分图，经过建模之后我们可以这样画
其中左部点集 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，右部点集 \(B = \{5, 6, 7, 8\}\), 其中源点为 \(0\)，汇点为 \(9\)
建模过程：
新增一个源点 \(S\) 和一个汇点 \(T\), 从 \(S\) 到每一个左部点连有向边，从每一个右部点到 \(T\) 连有向边，把原二分图的每条边看作从左部点到右部点的有向边，形成了一张 \(n + 2\) 个点 \(n + m\) 条边的网络。其中每一条边的容量都为 \(1\)。
不难发现，二分图的最大匹配数就等于网络的最大流量。求出最大流后，所有有有”流“经过的点，边就是匹配点，匹配边。
进一步的：如果要求二分图多重匹配，依据题目信息改变连接汇点和源点的边的容量即可
计算最大流的算法很多，这里主要讲解 \(EK (Edmonds-Karp)\) ，\(Dinic\) 和 \(ISAP\) 算法。
EK 增广路算法
这里的增广路与二分图里面的增广路有不一样了 Q^Q
增广路：若一条源点 \(S\) 到 \(T\) 的路径上各边的剩余容量都严格大于 \(0\)，则称这条路径为增广路。显然，可以让一个流沿着增广路流过，使得网络的流量增大。
而\(EK\)的思路就是不断进行广度优先搜索寻找增广路，直到不存在增广路为止。
而在搜索的时候，我们只考虑图中所有 \(f(x, y) < c(x,y)\) 的边（或者说是有剩余容量的边）。在寻找路径的同时，还要记录其前驱结点以及路径上的最小容量\(minf\), 在找到一条增广路后，则网络的流量可以增加 \(minf\)。
但是，考虑到斜对称的性质，由于我们需要把增广路上的所有边的剩余容量 \(e(u, v)\) 减去\(minf\)，所以要在对其反边容量 \(e(v, u)\) 加上 \(minf\)。
初始化的时候，如果是有向边 \((u, v)\)，则 \(e(u, v) = c(u, v), e(v, u) = 0\)，如果是无向边，则 \(e(u, v) = e(v, u) = c(u, v)\)。
?: 为什么会出现无向边，网络流不是有向图吗？
考虑双向道路
马路，既可以顺流，又可以逆着。例如：[ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子 - 洛谷
这道题需要用到最小割，顺便说一下，最小割 = 最大流
?: 为什么使用BFS，而不是DFS？
因为DFS可能会绕圈圈……在讲述DInic的时候我会再提及
复杂度：复杂度上界为 \(O(nm^2)\)，然而实际上远远达不到这个上界，效率还行，可以处理 \(10^3 \sim 10^4\) 规模的网络
--《算法竞赛进阶指南》
我不会证明，下面的两个算法也不会 Q^Q
这里给出一种参考代码
提交记录：记录详情
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
using std::deque;
const int N = 2e3 + 7, M = 5e5 + 7, INF = 0x7F7F7F7F;
int n, m, s, t;
int to[M], nex[M], wi[M] = {INF};
int head[N], tot = 1;
void add(int u, int v, int w) {
to[++tot] = v, nex[tot] = head[u], wi[tot] = w, head[u] = tot;
}
void read() {
scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
int u, v, w;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
add(u, v, w);
add(v, u, 0);
}
}
#define min(x, y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define pop() que.pop_front()
#define top() que.front()
#define push(x) que.push_back(x);
#define empty() que.empty()
static int inq[N], it = 0;
// px记录上一个点，pe记录遍历过来的边
static int px[N], pe[N];
inline int bfs() {
deque<int> que;
push(s); inq[s] = ++it;
int x, y;
while (!empty()) {
x = top(); pop();
for (int i = head[x]; i; i = nex[i]) {
if ((inq[(y = to[i])] ^ it) && wi[i]) {
px[y] = x, pe[y] = i;
if (y == t) return 1; // 找到增广路了，
inq[y] = it; push(y);
}
}
}
return 0; // 到不到了，没有增广路了
}
void work(long long & res) {
while (bfs()) {
int val = INF;
for (int x = t; x ^ s; x = px[x]) {
val = min(val, wi[pe[x]]);
}
for (int x = t; x ^ s; x = px[x]) {
wi[pe[x]] -= val;
// 处理反边的时候利用了成对变换的方法！
wi[pe[x] ^ 1] += val;
}
res += val;
}
}
int main() {
read();
long long res = 0;
work(res);
printf("%lld\n", res);
return 0;
}
Dinic
考虑到 \(EK\) 算法每一次在残量网络上只找出来的一条增广路，太慢了，所以有了更优化的东西 Dinic？歌姬吧
先引入一点点概念：
深度：在搜索树上的深度（BFS搜索时的层数）
残量网络：网络中所有节点以及剩余容量大于 \(0\) 的边构成的子图
分层图：依据深度分层的一段段图……或者说在残量网络上，所有满足 \(dep[u] + 1 = dep[v]\) 的边 \((u, v)\) 构成的子图。
分层图显然是一张有向无环图
Dinic 算法不断重复下述过程，直到在残量网络中，\(S\) 不能到达 \(T\)
-
利用BFS求出分层图
-
在分层图上DFS寻找增广路，在回溯的时候实时更新剩余容量。另外，每个点可以同时流出到多个结点，每个点也可以接收多个点的流。
?: 这里为什么可以使用DFS
由于我们分了层，意味着DFS只会向更深的地方搜索，而不会在同一层乱跳，甚至搜索到前面。这也是为什么EK用BFS更优秀
复杂度：一般来说，时间复杂度为 \(O(n^2m)\)，可以说是不仅简单，而且容易实现的高效算法之一，一般能够处理 \(10^4 \sim 10^5\) 规模的网络。特别的，用此算法求二分图的最大匹配时只需要 \(O(m\sqrt{n})\), 实际上表现会更好。
题目不变
没有当前弧优化：提交详情
有当前弧优化：记录详情
// 重复内容已省略
int dis[N], vis[N], vt = 0;
int now[N]; // 用于当前弧优化
// return true if exists non-0 road to t
bool bfs() {
memset(dis, 0, sizeof(dis)); dis[s] = 1;
deque<int> que;
que.push_back(s);
while (que.size()) {
int x = que.front(); que.pop_front();
now[x] = head[x]; // 更新当前弧
for (int y, i = head[x]; i; i = nex[i]) {
if (!dis[y = to[i]] && wi[i]) {
dis[y] = dis[x] + 1;
que.push_back(y);
if (y == t) return true;
}
}
}
return false;
}
#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
long long dinic(int x, long long maxflow) {
if (x == t) return maxflow;
long long rest = maxflow, k;
for (int y, i = now[x]; i && rest; i = nex[i]) {
now[x] = i; // 更新当前弧
// 要在更深的一层，以及需要有剩余流量
if (dis[y = to[i]] == dis[x] + 1 && wi[i]) {
k = dinic(y, min(rest, wi[i]));
if (!k) dis[y] = 0;
wi[i] -= k, wi[i ^ 1] += k;
rest -= k;
}
}
return maxflow - rest;
}
int main() {
read();
long long maxflow = 0, flow;
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, INF)) maxflow += flow;
}
printf("%lld\n", maxflow);
}
?: 当前弧优化是个啥玩意
注意到如果我们每一次遍历后，对于当前边 \((u, v)\)，不可能再有流量流过这条边，所以我们可以暂时的删除这条边……注意，只是暂时，每一分层的时候是需要考虑这条边的，因为这条边的剩余流量不一定为 0
ISAP
某位大佬的博客上说这是究极最大流算法之一。还有一个HLPP（最高标记预留推进），思路完全与这几个方法不同，不依赖于增广路，我会把它放在另外的文章中单独讲。
我可不会告诉你们是我不会优化，太笨了，看不懂大佬的优化这是我的：记录详情 4.77s
这是大佬的：记录详情 185ms
由于Dinic需要多次BFS……所以有些不满足的数学家决定优化常数……于是有了ISAP，只需要一次BFS的东西……
可恶，竟然没有找到不用gap优化的写法 T^T
ISAP算法从某种程度上是SAP算法和Dinic的融合
SAP算法就是所谓的EK算法……ISAP也就是Improved SAP……但是主体怎么跟DInic几乎一模一样！
算法流程如下：
-
从 \(T\) 开始进行BFS，直到 \(S\) ，标记深度，同时记录当前深度有多少个
-
利用DFS不断寻找增广路，思路与Dinic类似
-
每次回溯结束后，将所在节点深度加一（远离 \(T\) 一点），同时更新深度记录。如果出现了断层（有一个深度没有点了）那么结束寻找。
?: 为什么需要深度加一
由于我们在遍历过一次过后，这个点不可能再向更靠近 \(T\) 的点送出流量，所以只能退而求其次，给自己同层的结点送流量。
怎么跟Dinic一摸一样啊，关键是也可以用当前弧优化，只是我用写的是vetor存图……需要一点奇技淫巧
参考代码……
提交题目还是【模板】网络最大流 - 洛谷
!! 竟然在最优解第二页 O-O
对于下面代码做出一些解释
?: 为什么终止条件是
dep[s] > n由于我们只有n个点，意味着初始化的时候最大深度为 n
考虑如果是
dep[s] <= n的情况，那么要么是有连续的层，要么断层了（此时我们在DFS中会将dep[s]设为n+1如果源点深度 \(\gt n\) 所以一定会有一个深度是没有对应的点的，意味着一定出现了断层，也就是流量无法到达了
所以，更新答案之后就可以结束循环了
?: 为什么我用这么多的vector
考虑到vector的assign在某些情况下比memset要快，而且更方便
我也不知道为什么vector的
assign(n, v)指的是将前n个元素设为v但是如果只需要使用一次或者不需要清零
（如手写栈）的数组，就别用vector了，一个数组就搞定了
复杂度：与Dinic同阶，但是常数相对小一点
// 写这个的时候，借鉴了写HLPP最优解的大佬写快读的方法……
template<typename T>
inline void read(T &x) {
char c, f(0); x = 0;
do if ((c = getchar()) == '-') f = true; while (isspace(c));
do x = (x<<3) + (x<<1) + (c ^ 48), c = getchar(); while (isdigit(c));
if (f) x = -x;
}
template <typename T, typename ...Args> inline void read(T &t, Args&... args) { read(t), read(args...); }
typedef long long Data;
using namespace std;
const int N = 207, M = 5007;
struct Edge {
int to;
size_t rev; // 反边的位置，用int也没问题
Data flow;
Edge(int to, size_t rev, Data f) : to(to), rev(rev), flow(f) {}
};
class ISAP {
public:
int n, m, s, t;
vector<int> dep;
int q[N * 2], gap[N * 2];
// vector< vector<Edge> > v;
vector<Edge> v[N * 2];
ISAP(int n, int m, int s, int t) : n(n), m(m), s(s), t(t) {
input();
}
inline void input() {
// v.resize(n + 1);
for (int x, y, f, i(0); i ^ m; ++i) {
read(x, y, f);
v[x].push_back(Edge(y, v[y].size(), f));
v[y].push_back(Edge(x, v[x].size() - 1, 0));
}
}
inline void init() {
dep.assign(n + 1, -1);
dep[t] = 0, gap[0] = 1;
// 如果要用手写队列，要开大一点……避免玄学RE，虽然理论上N就够了
register int qt(0), qf(0);
q[qt++] = t;
int x, y;
while (qf ^ qt) {
x = q[qf++];
for (auto &e : v[x]) {
if (dep[(y = e.to)] == -1) // if dep[y] != -1
++gap[(dep[y] = dep[x] + 1)], q[qt++] = y;
}
} // bfs end
}
inline Data sap(int x, Data flow) {
if (x == t) return flow;
Data rest = flow;
int y, f;
for (auto &e : v[x]) {
if (dep[(y = e.to)] + 1 == dep[x] && e.flow) {
f = sap(y, min(e.flow, rest));
if (f) {
e.flow -= f, v[e.to][e.rev].flow += f;
rest -= f;
}
if (!rest) return flow; // flow all used
}
}
// change dep
if (--gap[dep[x]] == 0) dep[s] = n + 1; // can not reach to t
++gap[++dep[x]]; // ++depth
return flow - rest;
}
inline Data calc() {
Data maxflow(0);
static const Data INF(numeric_limits<Data>::max());
// dep[s]最大为n，为一条链的时候
while (dep[s] <= n) {
// 如果要当前弧优化，在这里需要重置当前弧的now！
maxflow += sap(s, INF);
}
return maxflow;
}
};
int main() {
int n, m, s, t;
read(n, m, s, t);
static ISAP isap(n, m, s, t);
isap.init();
printf("%lld\n", isap.calc());
return 0;
}
?: 如果我想用vector存图实现当前弧优化怎么整
在sap函数的主体部分
for (int & i = now[x]; i < G[x].size(); ++i) {
Edge & e = G[x][i]; // 这里就是当前弧优化
if (dep[(y = e.to)] + 1 == dep[x] && e.flow) {
f = sap(y, min(rest, e.flow));
if (f) {
rest -= f, e.flow -= f;
G[e.to][e.rev].flow += f;
}
if (!rest) return flow;
}
}
if (--gap[dep[x]] == 0) dep[s] = n + 1;
now[x] = 0, ++gap[++dep[x]]; // 重设当前弧
return flow - rest;
然后……就搞定了QwQ
作者有话说
一般来说，如果图非常稠密（边数远远大于点数），当前弧优化的力度就非常大了
如：Zoj3229 Shoot the Bullet|东方文花帖|【模板】有源汇上下界最大流 - 洛谷
这个专题我会放在网络流的其他部分详解，敬请期待……
写了当前弧优化的Dinic能轻松过……没写全TLE
虽然没写当前弧优化的ISAP能更快的过前三个点，但最后一个点过不了……QwQ
我没有试过当前弧优化的ISAP更新：有当前弧优化的ISAP可以过
但是如果边数不多，当前弧优化可能就成了负优化了……所以需要根据题目数据合理使用
