网络攻防实践 - 中国剩余定理笔记

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Introduction

孙子提出了这样一个问题：

找出所有整数 \(x\)，它们被 \(3\)，\(5\) 和 \(7\) 除时，余数分别为 \(2\), \(3\) 和 \(2\)。一个这样的解是 \(x = 23\)，所有的解是形如 \(23 + 105k\)（\(k\) 为任意整数）的整数。

中国剩余定理说明，对一组两两互质的模数（\(3\)，\(5\) 和 \(7\)）来说，其取模运算的方程组对其积（\(105\)）取模运算的方程之间存在一种对应关系。

Description

用现代数学的语言描述，孙子定理给出了以下的一元线性同余方程组有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下的解的具体形式。

\[(S): \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1}\\ x \equiv a_2 \pmod{m_2}\\ \hspace{1.1em}\vdots\\ x \equiv a_m \pmod{m_m}\\ \end{cases} \]

中国剩余定理说明：假设整数 \(m_1,m_2,m_3,...,m_n\)，则对任意的整数：\(a_1, a_2, ..., a_n\)，方程组 \((S)\) 有解，并且可以通过如下方式构造得到：

1. 设 \(m = m_1 \times m_2 \times ... \times m_n = \Pi_{i=1}^{n}m_i\) 是整数 \(m_1,m_2,m_3,...,m_n\) 的乘积，并设 \(M_i = m/m_i\)；
2. \(t_i\) 是线性同余方程 \(M_it_i \equiv 1 \pmod{m_i}\) 的一个解；
3. 方程组 \((S)\) 有整数解，解为 \(x = \Sigma_{i=1}^n a_iM_it_i\). 这个解是一个特解，通解为 \(x + km (k \in \mathbb{Z})\).

:::spoi 证明
因为 \(M_i = m/m_i\) 是除了 \(m_i\) 之外所有模数的倍数，所以 \(\forall k \neq i, a_iM_it_i \equiv 0 \pmod{m_k}\)。
又因为 \(a_iM_it_i \equiv a_i \pmod{m_i}\)，所以代入 \(x = \Sigma_{i=1}^{n}a_iM_it_i\)，原方程成立.

另外，假设 \(x_1\) 和 \(x_2\) 都是方程组 \((S)\) 的解，那么：

\[\forall i \in \{1,2,...,n\}, x_1 - x_2 \equiv 0 \pmod {m_i}. \]

而 \(m_1, m_2, ..., m_n\) 两两互质，这说明 \(m = \Pi_{i=1}^n m_i\) 整除 \(x_1 - x_2\). 所以方程组 \((S)\) 的任何两个解之间必然相差 \(m\) 的整数倍。而另一方面，\(x = \Sigma_{i=1}^{n}a_iM_it_i\) 是一个解，这就说明了方程组 \((S)\) 所有的解的集合就是：

\[\{km + \Sigma_{i=1}^{n}a_iM_it_i, k \in \mathbb{Z}\} \]

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refrences
《算法进阶指南》
中国剩余定理 https://zh.wikipedia.org/wiki/中国剩余定理