组合数学の学习笔记

幻方问题

幻方问题的相关定义

• 幻方是一类特殊的二维数列，我们称 \(n\) 阶幻方是一个 \(n*n\) 的矩阵，在 \(n*n\) 个格子中，每个格子都填有一个数，分别是 \(1\)~\(n*n\) ，满足每一行，每一列，两条对角线上的数字之和相等，这个和称为幻和。

幻方问题基本性质及存在性问题

• 考虑如何计算幻和。注意到幻方中所有数的和为 \(1+2+3+4+...+n*n -1+n*n\)，即 \((1+n^2)*n^2/2\) 。而因为 \(n\) 行的和都是相等的，所以每行的和分别为 \((1+n^2)*n/2\)，即幻和为 \((1+n^2)*n/2\) 。

• \(2\) 阶幻方不存在，其余 \(n>2\) 的 \(n\) 阶幻方都是存在的。

幻方的构造性问题

• \(n\) 为奇数的情况，从第一行第 \((n+1)/2\) 开始填 \(1\) ，若前一个填的位置为第 \(x\) 行第 \(y\) 列，记为 \((x,y)\)，此后每次在 \((x-1,y+1)\) 上填下一个数。若 \(x-1\) 为 \(0\) ，则在第 \(n\) 行填；若 \(y+1\) 为 \(n+1\) ，则在第一行上填。若当前 \((x-1,y+1)\) 已经填过，则在 \((x,y)\) 下面一格填，即 \((x+1,y)\) ，若 \(x+1=n+1\) 则在 \((1,y)\) 上填。以下为一个 \(5\) 阶幻方的构造。

\[\begin{pmatrix} 16 & 22 & 1 & 8 & 15 \\ 21 & 5 & 7 & 14 & 20 \\ 4 & 6 & 13 & 19 & 25 \\ 10 & 12 & 18 & 24 & 3 \\ 11 & 17 & 23 & 2 & 9 \end{pmatrix} \]

• \(n\) 为偶数且为 \(4\) 的倍数。此时将 \(n*n\) 的矩阵划分为左上，右上，左下，右下四个等大的正方形。对于左上的正方形我们任意选取每行，每列各 \(n/4\) 个阴影，然后镜像到右上和下半部分。现在来填非阴影部分：我们从 \((1,1)\) 开始，填 \(1\) ，然后将要填的数加 \(1\) ，注意如果是阴影部分则不填，但仍要加 \(1\) ，一直往右填，到 \(n\) 就从下一行的第一列开始填。接下来考虑填阴影部分。相似的，我们从 \((n,n)\) 开始，填 \(1\) ，如果是非阴影部分则不填，每次加 \(1\) ，先往左填，如果到达第一列，则从上一行的第 \(n\) 列开始填。以下为一个 \(4\) 阶幻方的构造。

\[\begin{pmatrix} 16 & 2 & 3 & 13 \\ 5 & 11 & 10 & 8 \\ 9 & 7 & 6 & 12 \\ 4 & 14 & 15 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

• \(n\) 为偶数且不是 \(4\) 的倍数。此时仍将矩阵分为和上述一样的 \(4\) 个正方形。记左上矩形为 \(A\) ，右下为 \(B\) ，右上为 \(C\) ，左下为 \(D\) 。此时， \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) 都是奇数阶幻方，我们用上述讲的构造方式按照 \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) 的顺序填，但是注意起始填的数字不是 \(1\) ，而是已经填完的个数加 \(1\) 。此时还没完，我们选中 \(A\) , \(D\) 每一行的前 \((n-2)/4\) 列，但两个矩阵中间那一行分别往右平移一列。将两个矩阵对应位置交换。我们再选中 \(B,C\) 矩阵每一行的后 \((n-2)/4-1\) 列，不用平移，交换两个矩阵对应位置的数字。此时我们完成了构造。以下为一个 \(6\) 阶幻方的构造。

\[\begin{pmatrix} 34 & 1 & 6 & 25 & 19 & 24 \\ 3 & 32 & 9 & 21 & 23 & 27 \\ 31 & 8 & 2 & 22 & 26 & 20 \\ 7 & 28 & 33 & 16 & 10 & 15 \\ 30 & 5 & 36 & 12 & 14 & 18 \\ 4 & 35 & 29 & 13 & 17 & 11 \\ \end{pmatrix} \]

拉丁方问题

拉丁方问题的相关定义

在 \(n*n\) 的矩阵中，我们只能填入 \(1~n\) 的正整数，每个数可以重复使用，每一行，每一列各包含 \(1~n\) 的整数恰好一个。注意两条对角线不必满足。

拉丁方的存在性问题

对于任何 \(n*n\) 的拉丁方，若 \(n\) 为正整数，则存在该拉丁方。

拉丁方的构造性问题

这十分简单，令第一行为 \({1,2,3,4,...,n-1,n}\)
以下每一行都将前一行的最后一个数提到最前面。

如下为一个 \(5*5\) 的拉丁方

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ \end{pmatrix} \]