初等数论四大基本定理

威尔逊定理

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当$p$为素数时，$(p-1)!\equiv-1~(mod~p)$

欧拉定理

$a，n$为正整数，且互质，则：$a^{\varphi(n)}\equiv1~(mod~n)$

欧拉函数：$\varphi(n)$

$\varphi(n)=$不大于$n$且与$n$互质的数的个数。

例如：$\varphi(8)=4~(与1,3,5,7互质)$

$(1)~~\varphi(1)=1$

$(2)~~$若$n$为素数$\varphi(n)=n-1$

$(3)~~p$为素数，若$n=p^k$，那么$\varphi(n)=\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})$

例如：$\varphi(8)=\varphi(2^3)=2^3-2^{3-1}=8(1-\frac 12)=4$

$(4)~~$欧拉函数是积性函数，若$m,n$互质，$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$

$(5)~~$任何一个大于$1$的整数都可以写成一系列素数的乘积：$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$

$\begin{align} \varphi(n)&=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2}) \cdots \varphi(p_r^{k_r}) \\ &=p_1^{k_1}(1-\frac{1}{p_1})p_2^{k_2}(1-\frac{1}{p_2}) \cdots p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_r}) \\ &=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2}) \cdots (1-\frac{1}{p_r}) \end{align}$

例如：$\varphi(8)=8(1-\frac 12)=4$

费马小定理

若$p$为素数，对任意整数$a$，当$p\nmid a$（整数$a$不是$p$的倍数），有$a^{p-1} \equiv 1~(mod~p)$

孙子定理（中国剩余定理）

对于一元线性同余方程组：

\begin{cases} x\equiv a_1~(mod~m_1) \\ x\equiv a_2~(mod~m_2) \\ ~~~~\vdots \\ x\equiv a_n~(mod~m_n) \end{cases}

设整数$m_1,m_2,\cdots,m_n$两两互质，则对任意整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$,方程组有解，并可以通过如下方式得到通解：

$(1)~设M=m_1m_2\cdots m_n,M_i=\frac{M}{m_i}=\prod \limits_{j=1,j\neq i}^nm_j$

$(2)~设M_i^{'}为M_i模m_i的数论倒数，即M_i^{'}M_i \equiv 1~(mod~m_i)$

通解：$x=kM+\sum\limits_{i=1}^na_iM_i^{'}M_i~~(k\in\mathbb{z})$

扩展：

欧拉降幂：

$$a^b \equiv \begin{cases} a^{b\%\varphi(p)} & gcd(a,p)=1 \\ a^{b\%\varphi(p)} & gcd(a,p)\neq1,b<\varphi(p) \\ a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)} & gcd(a,p)\neq1,b\geqslant\varphi(p) \end{cases} ~~(mod~p)$$

逆元

根据费马小定理：$a^{p-1} \equiv 1~(mod~p)$，则有：

$$aa^{p-2} \equiv 1~(mod~p)$$

即：

$$a^{p-2} \equiv \frac 1a~(mod~p)$$