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最长上升子序列

1. \(O(n^2)\)

考虑以 i 为结尾的最长上升子序列的长度即可

#include<iostream>
using namespace std;
int i,j,n,a[100],b[100],max;
int main()
{
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    b[0]=1;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        b[i]=1;
        for(j=0;j<i;j++)
            if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1);
    }
    for(max=i=0;i<n;i++) if(b[i]>max) max=b[i];
    cout<<max<<endl;
}

2. \(O(nlogn)\)

贪心+二分优化

我们可以利用一个像单调栈一样的东西（但不是栈）来存储可能作为这个最长上升子序列的元素的数，对于原序列中的一个数，如果它比栈顶的元素还要大，那么它有可能成为答案，那就直接将其插入栈顶，否则，因为他是有序的，所以我们可以二分查找整个栈，然后将比该数大的最小的元素替换掉，作为新的元素，这样可以保证使得答案最优，最后这个单调栈的大小就是最长上升子序列的长度

#include <iostream>
using namespace std;
int i,j,n,s,t,a[100001];
int main()
{
    cin>>n;
    a[0]=-1000000;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>t;
        if(t>a[s]) a[++s]=t;
        else
        {
            int l=1,h=s,m;
            while(l<=h)
            {
                m=(l+h)/2;
                if(t>a[m]) l=m+1;
                else h=m-1;
            }
            a[l]=t;
        }
    }
    cout<<s<<endl;
}