欧拉函数与莫比乌斯函数的一些性质

前置知识

翡蜀定理与算数基本定理的证明

积性函数

若有一个数论函数\(f\)满足以下性质：
\(\left(1\right)f\left(1\right)=1\)
\(\left(2\right)\)若\(a,b\)互质，那么\(f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)\)
则函数\(f\)是积性函数。

引理

若\(f\)是积性函数，则\(\sum\limits_{d\mid n}f\left(d\right)\)也是积性函数。
证明：
当\(n=1\)时，\(\sum\limits_{d\mid n}f\left(d\right)=f\left(1\right)=1\)
当\(n>1\)时，\(\sum\limits_{d_{1}\mid a}f\left(d_{1}\right)\sum\limits_{d_{2}\mid b}f\left(d_{2}\right)=\sum\limits_{d_{1}\mid a,d_{2}\mid b}f\left(d_{1}\right)f\left(d_{2}\right)\)
由于\(a,b\)是质数，所以\(ab\)的所有因数都有\(a\)的因数与\(b\)的因数唯一组成。
所以\(\sum\limits_{d_{1}\mid a}f\left(d_{1}\right)\sum\limits_{d_{2}\mid b}f\left(d_{2}\right)=\sum\limits_{d\mid ab}f\left(d\right)\)
即\(\sum\limits_{d\mid n}f\left(d\right)\)也是积性函数。

同余类

模\(m\)的同余类为模\(m\)后余数不同的数组成的集合。

完系

在模\(m\)的\(m\)个同余类\(A_{0},A_{1},\cdots,A_{m-1}\)中，每个集合\(A_{i}\)取一个数\(a_{i}\)，那么\(\left\{a_{0},a_{1},\cdots,a_{m-1}\right\}\)称为\(m\)的一个完全剩余系，简称完系。

缩系

如果同余类中一个数与\(m\)互质，那么同余类里的所有数都与\(m\)互质，从这种同余类中每个选出一个数，组成\(m\)的一个缩系。

\(\varphi\)函数

定义

\(\varphi\left(n\right)\)的值为小于\(n\)的正整数中与\(n\)互质的数的个数。
\(m\)的缩系的元素个数记为\(\varphi\left(m\right)\)

性质

显然的，\(\varphi\)是积性函数。
设\(n=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}}\)，其中\(p_{i}\)是质数，\(c_{i}\in\mathbb{N_{+}}\)
\(\left(1\right)\varphi\left(n\right)=n\prod\limits_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right)\)
这个性质是显然的。
\(\left(2\right)n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi\left(d\right)\)
证明：
当\(n=p^{m}\left(p为质数,m\in N_{+}\right)\)时,\(\sum\limits_{d\mid n}\varphi\left(d\right)=1+\sum\limits_{i=1}^{m}\varphi\left(p^{i}\right)=1+\sum\limits_{i=1}^{m}p^{i}-p^{i-1}=p^{m}=n\)
\(\because\varphi\)是积性函数
\(\therefore \sum\limits_{d\mid n}\varphi\left(d\right)\)是积性函数。
\(\therefore \sum\limits_{d\mid n}\varphi\left(d\right)=\prod\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{d\mid p_{i}^{c_{i}}}\varphi\left(d\right)=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}}=n\)
\(\left(3\right)\)设\(\left(a,m\right)=1\)，则\(a^{\varphi\left(m\right)}\equiv 1\left(mod\ m\right)\)
证明:
取模\(m\)的缩系\(\left\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots,a_{\varphi\left(m\right)}\right\}\)，则\(\left\{aa_{1},aa_{2},aa_{3},\cdots,aa_{\varphi\left(m\right)}\right\}\)也是模\(m\)的一个缩系。
有\(\prod\limits_{i=1}^{\varphi\left(m\right)}a_{i}\equiv\prod\limits_{i=1}^{\varphi\left(m\right)}aa_{i}\equiv a^{\varphi\left(m\right)}\prod\limits_{i=1}^{\varphi\left(m\right)}a_{i}\left(mod\ m\right)\)
所以\(a^{\varphi\left(m\right)}\equiv 1\left(mod\ m\right)\)

\(\mu\)函数

定义

定义\(n=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}}\),\(\forall i\in\left[1,k\right]\),\(p_{i}\)为质数。
\(\bullet\mu\left(n\right)=\left\{\begin{array}{l}1\cdots\left [n=1\right]\\ 0\cdots \left[\exists i\in\left[1,k\right],c_{i}>0\right]\\ \left(-1\right)^{k}\cdots\left[\forall i\in\left[1,k\right],c_{i}=1\right]\end{array}\right.\)

性质

\(\left(1\right)\varepsilon\left(n\right)=\sum\limits_{d\mid n}\mu\left(d\right)\)
其中\(\varepsilon\left(n\right)=\left\{\begin{array}{l}1\cdots\cdots\left[n=1\right]\\0\cdots\cdots\left[otherwise\right]\end{array}\right.\)
证明：
当\(n=1\)时,显然成立。
当\(n>1\)时,原式等价于\(\sum\limits_{d\mid n}\mu\left(d\right)=0\)
设\(n=\prod\limits_{i=1}^{k} p_{i}^{c_{i}}\),\(\forall p_{i}\)为质数,\(\forall c_{i}\in N_{+}\)
\(\sum\limits_{d\mid n}\mu\left(d\right)=\sum\limits_{i=0}^{k}\left(-1\right)^{i}C_{k}^{i}\)
由二项式定理有\(\left(a+b\right)^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}\)
令\(a=-1,b=1\),既\(\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}\left(-1\right)^{k}=\left(-1+1\right)^{k}=0\)
\(\left(2\right)\mu\)是积性函数。