斯坦福机器学习实现与分析之二(线性回归)

回归问题提出


  首先需要明确回归问题的根本目的在于预测。对于某个问题,一般我们不可能测量出每一种情况(工作量太大),故多是测量一组数据,基于此数据去预测其他未测量数据。

  比如课程给出的房屋面积、房间数与价格的对应关系,如下表:

  若要测量出所有情况,不知得测到猴年马月了。有了上面这一组测量数据,我们要估计出一套房子(如2800平方英尺5个房间)的价格,此时回归算法就可以荣耀登场了。

 

回归算法推导


   有了上面这个问题,如何来估计房子的价格呢?首先需要建立模型,一种最简单的模型就是线性模型了,写成函数就是:

\( h_\theta(x_1,x_2)={\theta_0}+{\theta_1}{x_1}+{\theta_2}{x_2} \)

  其中\(x_1\)是房子面积,\(x_2\)是房间数,\(h\)是对应的房子面积,\(\theta_j\)就是我们需要求的系数。

  对于每个具体问题,需要根据测量数据的情况来确定是否为线性。这里假设为线性模型会限制适用范围,如果房屋面积与价格不是线性关系,则此模型估计的房子价格可能会偏差很大。因此实际上这里也可以假设为其他关系(如指数、对数等),那么估计结果可能就极度不准确了,当然那也就不是线性回归,这里就不必讨论。具体为什么选择线性模型,将在后面广义回归模型中来解答。

  上面公式写成向量形式,则为

\( h_\theta(x)=\sum_{i=0}^n{\theta_i{x_i}}=\theta^T{x} \)

  其中

\(\theta=(\theta_0, \theta_1,..., \theta_n)^T\) 

\( x=(1,x_1, ... ,x_n)^T \)

  那么上面的测量数据可以表示为\( (x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)}),..., (x^{(m)},y^{(m)}) \),其中的y为测量的房屋面积。这样如何根据这m个测量数据来求解参数\(\theta \)就是我们需要解决的问题了。

  我们可以通过保证此组测量的预测误差最小来约束求解。代价函数为

\(J(\theta)={\frac{1}{2}}\sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2}\)

  该代价函数表达的是测量数据的均方误差和。通过最小化该代价函数,即可估计出参数\( \theta \)。前面那个1/2并没有实质意义,主要为了后面求导方便加的;实际上为1/m更具有绝对意义。

 

回归算法求解


 

  如何求解上述问题?主要有梯度下降法,牛顿迭代法,最小二乘法。这里主要讲梯度下降法,因为该方法在后面使用较多,如神经网络、增强学习等求解都是使用梯度下降。

  函数在沿着其梯度方向增加最快的,那么要找到该函数的最小值,可以沿着梯度的反方向来迭代寻找。也就是说,给定一个初始位置后,寻找当前位置函数减小最快的方向,加上一定步长即可到达下一位置,然后再寻找下一位置最快的方向来到达再下一个位置……,直至其收敛。上述过程用公式表达出来即如下所示:

\( \theta_j = \theta_j - \alpha{\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}}{J(\theta)}\)

  根据上述表达式,可以求得代价函数的偏导数为:

\( {\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}}{J(\theta)} = \sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}) {\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}}{h_\theta(x^{(i)})}} = \sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}} \)

  这样,迭代规则为

\( \theta_j = \theta_j - \alpha\sum_{i=1}^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}}\quad (j=1,2,...,n)\)

  这个公式即是所谓的批量梯度下降。仔细观察该公式,每次迭代都需要把m个样本全部计算一遍,如果m很大时,其迭代将非常慢,因此一种每次迭代只计算1个样本的随机梯度下降(或增量梯度下降)可以极大减少运算量,其迭代如下:

\( \theta_j = \theta_j - \alpha {(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}}\quad (i=1,2,...,n \quad j=1,2,...,n)\)

  若所有样本迭代完成后还未收敛,则继续从第1个样本开始迭代。

 

算法实现与结果


  首先使用下面代码生成一组数据,为了后续显示方便,数据为一条直线上叠加一定噪声:  

1         N = 100;
2         x = rand(N, 1) * 10;
3         y = 5 * x + 10 + 5 * randn(N, 1);
4         Sample = [x y];
5         save('data.mat', 'Sample')
6         figure,plot(x, y, 'o');
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  数据显示出来如下图:

  线性回归函数使用梯度下降求解: 

 1 %返回值Theta为回归结果
 2 %IterInfo为迭代的中间过程信息,用于调试,查看
 3 %Sample为训练样本,每一行为一个样本,每个样本最后一个为Label值
 4 %BatchSize为每次批量迭代的样本数
 5 function [Theta, IterInfo]=LinearRegression(Sample, BatchSize)
 6     [m, n] = size(Sample); %m个样本,每个n维
 7     Y = Sample(:, end); %label
 8     X = [Sample(:,1:end-1), ones(m,1)]';%x加入常数项1,并转换为每列表示1个样本
 9     
10     BatchSize = min(m, BatchSize);
11     Theta = zeros(n, 1);
12     Theta0= Theta;
13     Alpha = 1e-2 * ones(n, 1);
14     StartID = 1;
15     
16     IterInfo.Grad = [];
17     IterInfo.Theta = [Theta];
18     
19     %梯度下降,迭代求解
20     MaxIterTime = 5000;
21     for i = 1:MaxIterTime
22         EndID = StartID + BatchSize;
23         if(EndID > m) 
24             TX = [X(:, StartID:m) X(:, 1:EndID-m)];
25             TY = [Y(StartID:m); Y(1:EndID-m)];
26         else
27             TX = X(:, StartID:EndID);
28             TY = Y(StartID:EndID);
29         end
30         
31         Grad = CalcGrad(TX, TY, Theta); 
32         Theta = Theta + Alpha .* Grad;
33         
34         %记录中间结果
35         IterInfo.Grad = [IterInfo.Grad Grad];
36         IterInfo.Theta = [IterInfo.Theta Theta];
37         
38         %迭代收敛检验
39         Delta = Theta - Theta0;
40         if(Delta' * Delta < 1e-10)
41             break;
42         end
43         
44         Theta0 = Theta;
45         StartID = EndID + 1;
46         StartID = mod(StartID, m) + 1;
47     end
48     
49     IterInfo.Time = i;
50 end
51 
52 %梯度计算
53 function Grad = CalcGrad(X, Y, Theta)
54     D = 0;
55     for i = 1:size(X,2)
56         G = (Y(i) - Theta' * X(:,i)) * X(:,i);
57         D = D + G;
58     end
59     Grad = D / size(X,2);
60 end
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  测试函数:

 1     %回归
 2     load('data.mat');
 3 
 4     BatchSize = 100;
 5     [Theta, IterInfo] = LinearRegression(Sample, BatchSize)
 6     
 7     %显示结果,以下代码不通用,样本维数增加时显示不可用
 8     figure,plot(Sample(:,1), Sample(:,2), 'o');
 9     t = 0:0.1:10;
10     z = Theta(1) * t + Theta(2);
11     hold on, plot(t, z, 'r')
12 
13     for i = 1:size(IterInfo.Theta,2)    
14         err(i) = Error(Sample, IterInfo.Theta(:,i));       
15     end
16     figure,plot(log(err),'b');pause(.1)
17     
18     [t1,t2]=meshgrid(0:0.1:20);    
19     for i = 1:size(t1,1)
20         for j = 1:size(t1,2)
21             E(i,j) = Error(Sample, [t1(i,j); t2(i,j)]);
22         end
23     end
24     figure,mesh(t1, t2, E);hold on
25     [R,C]=find(E==min(min(E)));  
26     plot3(t1(R,C), t2(R,C), min(min(E)), 'rs','MarkerEdgeColor','b',...
27                 'MarkerFaceColor','r',...
28                 'MarkerSize',15);hold on
29     
30     t1 = IterInfo.Theta(1,:);
31     t2 = IterInfo.Theta(2,:);    
32     for i = 1:size(IterInfo.Theta,2)
33         ItErr(i)=Error(Sample, IterInfo.Theta(:,i));
34     end
35     plot3(t1,t2,ItErr,'--rs','LineWidth',1,...
36                 'MarkerEdgeColor','k',...
37                 'MarkerFaceColor','g',...
38                 'MarkerSize',10);hold on
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  实际上上述代码中真正涉及算法求解的不多,其他都是保存中间结果和绘图等用于调试分析的。回归结果如图,蓝色点为上面保存的数据,红色直线是回归拟合的直线:

  其中每次迭代后,代价函数J的变化则如下图(考虑其范围过大,绘制的是其对数图):

  可以看出,当迭代超过1000次时,代价函数已经基本不变了。梯度下降迭代过程如下左图,xy坐标分别为\(\theta_0和\theta_1\),z轴为对应\(\theta\)的代价函数值,图中心的红色小块是真实的最优值,绿色方块是每次迭代的位置,可以看到迭代过程是不断靠近最优解。由于图中绿色方块重叠过多导致绘图出来中间部分显示为黑色了,右图为局部放大的结果。

      

算法分析


  1. 梯度下降法中,BatchSize为一次迭代使用的样本数量,当其为m时,即为批量梯度下降,为1时即是随机梯度下降。实验效果显示,BatchSize越大,迭代越耗时,但其收敛越稳定;反之,则迭代越快,而易产生振荡现象;具体可修改测试代码中的BatchSize来看实验结果。

  2. 关于步长的选择。在梯度下降法中,步长的影响是非常大的,步长过小会导致收敛非常慢,过大则容易导致不收敛。上述程序中的步长是经过若干次运行修改的,换一组其他数据可能不收敛,这是该程序存在的问题,待回归算法完结后将专门来一篇分析该问题,并给出解决方法。

posted @ 2015-04-08 10:31  过客冲冲  阅读(2154)  评论(0编辑  收藏  举报