C++U4-第10课-前缀和与差分

学习目标

前缀和数组（Prefix Sum Array）用于解决与区间和相关的问题。它是一个辅助数组，其中的每个元素存储了原数组中相应位置以及之前所有元素的累加和。

通过构建前缀和数组，我们可以在常数时间内计算出任意区间的和，而不需要重复地遍历原数组进行求和操作。这在处理多次查询、累加和等问题时非常高效。

前缀和数组适用于以下类型的问题：

1. 区间和查询：给定一个数组和多次查询，每次查询给出一个区间 [L, R]，要求计算该区间内所有元素的和。
2. 前缀和差值查询：给定一个数组和多次查询，每次查询给出一个位置 i，要求计算第一个元素到第 i 个元素的和。
3. 连续子数组和问题：给定一个数组，要求找到一个连续子数组，使得其元素之和达到最大或最小值。
4. 找到满足特定条件的子数组：给定一个数组和一些条件，要求找到满足条件的子数组。

通过构建前缀和数组，我们可以在预处理阶段计算出需要的信息，并在后续的查询或操作中快速获取结果。这种方法可以大大减少重复计算，提高代码效率。

 

差分数组（Difference Array）主要用于解决与区间修改相关的问题。它是一种特殊的数组，其中的每个元素表示原数组中相邻元素之间的差值。

通过构建差分数组，我们可以将原问题转化为对差分数组的操作。这样可以简化问题，并且在某些情况下提高代码的效率。

差分数组适用于以下类型的问题：

1. 区间增量修改：给定一个数组和多次区间修改操作，每次操作给出一个区间 [L, R] 和一个增量值 inc，要求将该区间内所有元素都增加 inc。
2. 求解原数组：已知差分数组和初始状态（例如全零或其他已知状态），要求恢复出原数组。

通过差分数组，我们可以在常数时间内实现对区间的修改操作。具体步骤如下：

1. 初始时，将差分数组初始化为与原数组相同的初始状态。
2. 对于每次区间修改操作 [L, R]，将差分数组的第 L 个元素增加 inc，将差分数组的第 R+1 个元素减少 inc。这样，在差分数组的 L 处开始的前缀和将会增加 inc，而在差分数组的 R+1 处开始的后缀和将会减少 inc。
3. 根据差分数组得到最终的结果。如果需要恢复出原数组，可以通过对差分数组求前缀和得到。

差分数组的使用可以简化问题，减少重复计算，并且提高代码效率。它在处理区间修改问题时非常有用。

 

前缀和解决的问题

 前缀和概念

 前缀和构建方式

 

 前缀和主要解决区间求和问题

练习题1：[前缀和]

【算法分析】
前缀和数组 s 的含义是 s[i] 表示 a[1] ~ a[i] 的和 ，那么 ∑ 
i=l
i=r
​
 a[i] = s[r]−s[l−1]。

【参考代码】
#include <iostream>
using namespace std;

int a[100010], s[100010];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i - 1] + a[i]; 
    }
    int l, r;
    while(m--){
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

 

 

练习题2：[7的倍数的子序列]

 

 

/*
流程解析：
输入数组的长度n。
循环读入n个数组元素，存储在数组a中。
根据题目要求，计算前缀和并对7取模，保存在pre数组中。
初始化左边界l为-1，右边界r为0。
遍历pre数组，更新左边界l和右边界r，确保每个模值pre[i]的最小左边界和最大右边界被记录下来。
遍历0到6之间的所有模值，计算相应模值的子数组长度，保存在ans中。
输出ans作为结果。
这段代码的目标是找到一个子数组，使得该子数组中所有元素相加后对7取模的结果最大。最后输出最大结果ans。


提示1：对结果取余 和对过程取余   是一样的 
累加和整体取余：4+5+6+7+8=30     30%4   余2 
逐个取余再加在一起再取余：逐个取余   0  1  2  3  0   6%4   = 2
*/

 

#include <iostream>
using namespace std;
int a[50010], pre[50010];
int r[7];  //记录最后出现的位置          
int l[7] = {0, -1 ,-1,-1 ,-1,-1,-1}; // 初始化，记录每个余数最早出现的位置              
int main() {
    int n, ans; // 输入变量和答案变量
    cin >> n; // 输入数组长度
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i]; // 输入数组元素
        pre[i] = (pre[i - 1] + a[i]) % 7; // 计算前缀和%7的结果
        if(l[pre[i]] == -1) l[pre[i]] = i; // 更新左边界
        r[pre[i]] = i; // 更新右边界
    }
    for(int i = 0; i <= 6; i++){
        ans = max(ans, r[i] - l[i]); // 计算最长子数组的长度
    }
    cout << ans; // 输出结果
    return 0;
}

 

差分数组

差分数组解决的问题

 差分构建方式

 

 

 

 差分数组解决的使用方式

 

 范围内的数字进行改变的方式

 练习题

【算法分析】
差分的定义：
差分指的是在序列中相邻两项之间的差值。
对于一个序列 (a1,a2,a3,⋯)，它的差分序列是一个新的数列 (d1,d2,d3,⋯)，其中 di=a 
i+1−ai。也就是说，差分序列中的每一项都是原序列中相邻两项之差。
在进行操作时，[l,r] 之间的数都加上 c，可以在对应的差分序列中做以下操作：
b[l] += c;
b[r+1] -= c;
操作完成，对差分数组求前缀和即可得到结果。

【参考代码】
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], b[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){ //差分数组
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }
    while(m--){                 //m次操作
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        b[l] += c;
        b[r + 1] -= c;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){ //前缀和
        b[i] += b[i - 1];
        cout << b[i] << " ";
    }
    return 0;
}

 

练习2

 

 

【算法分析】
这道题只要计算 a[i] 和 a[i+1] 两组的高度差即可：

a[i]<a[i+1]，即左边的一组比右边的矮，当高度满足左边时，右边的还差一些，那么 ans 加上两堆的高度差；

a[i]>=a[i+1]，即左边的一组比右边的高，当高度满足左边时，右边的也一定满足了，所以不需要增加 ans。

【参考代码】
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], b[N];
long long ans;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
        if(b[i] > 0) ans += b[i];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

 

 

本节课作业讲解：

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