C++U4-第05课-二分查找
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引入
分治算法概念
二分法分治思想
编程题
二分查找能解决的问题不仅仅是找到一个值
题1：
要在一个有序序列中查找一个数，可以使用二分算法。 #include <iostream> using namespace std; int BinarySearch(int a[], int l, int r,int x) { while (l <= r) { int mid = (l + r) >> 1; if (a[mid] == x) return mid; else if (a[mid] > x) r = mid - 1; else l = mid + 1; } return -1; } int main() { int n; int a[109]; cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> a[i]; } int x; cin >> x; int l = 1, r = n; cout << BinarySearch(a, 1, n, x); return 0; }
题2：[【二分查找】第一个大于等于x的数]
要在一个有序序列中查找第一个大于等于 x 的数，可以使用二分算法。 #include <iostream> using namespace std; int BinarySearch(int a[], int l, int r,int x) { int ans = -1; while (l <= r) { int mid = (l + r) >> 1; if (a[mid] >= x) { r = mid - 1; ans = mid; } else { l = mid + 1; } } return ans; } int main() { int n; int a[109]; cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> a[i]; } int x; cin >> x; int l = 1, r = n; cout << BinarySearch(a, 1, n, x); return 0; }
最后一个等于x
这俩题同一个代码，都是往右找
要在一个有序序列中查找最后一个等于 x 的数，可以使用二分算法。 #include <iostream> using namespace std; int BinarySearch(int a[], int l, int r,int x) { int ans = -1; while (l <= r) { int mid = (l + r) >> 1; if (a[mid] <= x) { l = mid + 1; ans = mid; } else { r = mid - 1; } } if (a[ans] == x) { return ans; } return -1; } int main() { int n; int a[109]; cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> a[i]; } int x; cin >> x; int l = 1, r = n; cout << BinarySearch(a, 1, n, x); return 0; }
[【二分查找】lower_bound函数]
[【二分查找】upper_bound函数]
初赛练习：
[根号2]（额外题目）
实数二分，按照题意进行二分。 #include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int main() { double l = 1, r = 2; while (l + 1e-5 < r) { double mid = (l + r) / 2; printf("%.2f\n", mid); if (mid * mid >= 2) r = mid; else l = mid; } printf("%.2f\n", l); return 0; }urn 0; }
作业部分：
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作业1：[【递推】平行线分割平面问题]
【算法分析】 用 a[i] 表示 i 组平行直线最多能将这个圆分割成的部分数 当 i=1 时，a[1]=3 当 i=2 时，a[2]=9 第 i 组平行线的一条直线和前 i–1 组平行线都有不同的交点，且交点数为 2×(i−1) i>=2时，a[i]=a[i−1]+(交点数+1)×2 代入得： a[i]=a[i−1]+((i−1)×2+1)×2=a[i−1]+4×i−2 【参考代码】 #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e4 + 10; long long a[N]; int main() { int n; cin >> n; a[1] = 3; for(int i = 2; i <= n; i++){ // 递推式 a[i] = a[i - 1] + 4 * i - 2; } cout << a[n]; return 0; }
[【递推】小码君的牛肉串]
【算法分析】 f[i] 表示长度为 n 的字符串的涂法个数 f[1]=3 f[2]=8 总长度为 i 时，思考最后一个字符： 1.为 E 或 F，前 i−1 个字符串随便涂，为 2∗f[i−1] 2.为 O 时，i−1 的位置上不能为 O，则最后两个字符为 EO 或 FO，填法数为 2∗f[i−2] 所以递推式为 f[i]=2∗f[i−1]+2∗f[i−2] 【参考代码】 #include <iostream> using namespace std; long long f[50]; int main(){ int n; cin >> n; f[1] = 3; f[2] = 8; for(int i = 3; i <= n; i++){ f[i] = 2 * f[i - 1] + 2 * f[i - 2]; } cout << f[n]; return 0; }
选择题
正确答案
D
解析
因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 $A_{5}^2$ 种不同的排法，对于其中任意一种排法，其余六位都有 $A_{6}^6$ 种排法，所以共有 $A_{5}^2 \times A_{6}^6 = 14400$ 种不同的排法。
正确答案
B
解析
先把 1 填入方格有 3 种方法，第二步把填入方格的对应数字填入其它方格，有三种排法，第三步填剩下的两个数字只有一种排法，共有 $3 \times 3 \times 1$ 种排法。
选做题
【算法分析】 设置二维数组 f，f[i][j] 表示到 (i,j) 的不同的移动路线的数目。 当 i==1 或者 j==1 时，因为蚂蚁只能向上或者向右走，所以划分的方案数为 1。 其他情况： f[i][j] 可以由 f[i-1][j] 向上走一步和 f[i][j-1] 向右走一步得来，所以递推式为：f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−1] 【参考代码】 #include <iostream> using namespace std; int f[30][30]; int main() { int m, n; cin >> m >> n; for (int i = 1; i <= m; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (i == 1 || j == 1) { f[i][j] = 1; } else { f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j]; } } } cout << f[m][n]; return 0; }
【算法分析】 设置二维数组 f，f[i][j] 表示将 i 个数划分为 j 个子集的划分数。 当 i==j 或者 j==1 时，划分的方案数为 1。 其他情况： f[i][j] 可以由两个部分得来： (1) 相比于 f[i−1][j−1]，f[i][j] 多出的 i 可以单独作为一个子集，有 f[i−1][j−1] 种方法 (2) 相比于 f[i−1][j]，f[i][j] 多出的 i 可以放入划分的 j 个子集中的一个，有 f[i−1][j]∗j 种方法 所以 f[i][j]=(f[i−1][j]∗j+f[i−1][j−1])%10007 【参考代码】 #include <iostream> using namespace std; int f[110][110]; int main() { int n, r; cin >> n >> r; for (int i = 1; i <= n; i++) { f[i][i] = f[i][1] = 1; } for (int i = 2; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= r; j++) { f[i][j] = (f[i - 1][j] * j + f[i - 1][j - 1]) % 10007; } } cout << f[n][r]; }
