Introduction to Mathematical Thinking - Week 7

Q: Why did nineteenth century mathematicians devote time to the proof of self-evident results? Select the best answer.

A: To gain mastery of, and confidence in, the methods of abstract proof to apply them in less obvious cases.

(看这个看的想睡觉，可能是没有动手跟上老师的思路，只是被动吸收。)

习题

2. Say whether the following proof is valid or not. [3 points]

Theorem. The square of any odd number is 1 more than a multiple of 8. (For example, 32=9=8+1,52=25=3⋅8+1.)

Proof: By the Division Theorem, any number can be expressed in one of the forms 4q, 4q+1, 4q+2, 4q+3. So any odd number has one of the forms 4q+1,4q+3. Squaring each of these gives:

(4q+1)2(4q+3)2==16q2+8q+116q2+24q+9==8(2q2+q)+18(2q2+3q+1)+1

In both cases the result is one more than a multiple of 8. This proves the theorem.

不是很理解题意。我的理解：任何奇数的平法都可以表示为 8x + 1 (x 是整数)

 

3

Say whether the following verification of the method of induction is valid or not. [3 points]

Proof: We have to prove that if:

* A(1)

* (∀n)[A(n)⇒A(n+1)]

then (∀n)A(n).

We argue by contradiction. Suppose the conclusion is false. Then there will be a natural number n such that ¬A(n). Let m be the least such number. By the first condition, m>1, so m=n+1 for some n. Since n<m, A(n). Then by the second condition, A(n+1), i.e., A(m). This is a contradiction, and that proves the result.

“Let m be the least such number. ”，可以添加这样的约束？

题目要求证明任意，如果使用反证法，我们需要证明不存在一个反例。但是现在只证明了最少的这样的数不存在。是不是要这样理解：一个数的集合中，如果最小的数不存在，那么这个集合不存在。类似于造房子，如果没有地基，房子也不存在。

论坛上也有人提了这个问题，解释是这里用了数学归纳法，当 n1 不存在时，整个就不存在了。

 

Evaluate this purported proof

PS7_Q4.pdf

要阐述 big deal，比如归纳法满足的两个条件，以及证明后说明，根据归纳法可得出....结论。还有非通用的，如题目给出的假设，我们给出的假设，也要说明。

 

Evaluate this purported proof

PS7_Q5.pdf

数学要严谨，对还是错，没有模棱两可。因为如果一个工程师根据错误或者模糊的结论来造桥，那么会怎么样？

 

Evaluate this purported proof

PS7_Q6.pdf

数学归纳法，递推，可以假设“直到 n 都成立，然后推广到 n + 1吗？”我之前都是只假设一个 n 成立，然后递推到 n + 1。