Tarjan算法----寻找连通图中的割点

寻找连通图中的割点

谈到求割点最经典的算法就是tarjan。这个算法的思路是利用dfs过程建立一棵深度优先搜索树（dfs tree）。对于一个点u到他所能到达的v，若v未被访问过则这个v与u的连线我们可以称作父子边，

若v已被访问过那我们就把u与v之间的连线成为回边。

由这些父子边与回边组成的“图”我们就称它为深度优先搜索树（dfs tree）。

举个例子

     

图一是一个连通图，图二就是以0为根节点生成的dfs tree。实线是父子边，虚线是回边。

我们观察上图可以看出，根节点只有一个子树，所以不是割点。但我们可以自己在尝试换个图，自己画出对应的dfs tree，会发现根节点要是有两个以上的子树（subtree），那么他必然是一个割点（Aps）。

我们在仔细观察上图还会发现对于一个 non-leaf，non-root node u 的子节点 v，以v为根的子树若没有一条回边指向 u 节点的祖先节点，那么这个u点必然是一个割点（APs）。下图帮助理解这句绕口的话

 

 第一个条件的处理代码实现非常容易，但对于第二个条件的处理就要复杂一些。

先声明两个数组（i是各节点的编号）：

disc[u_i]　　用来维护每个点u_i被访问的次序。

low[u_i]　　用来维护每个以u_i节点为根的子树中的v_i节点所能到达的最先被访问的点的次序，即 low[u] = min{low[u],low[v]}。若v节点已被访问，说明这个v节点是u节点的祖先，那么low[u] = min{low[u],disc[v]}。

这里low[v]的值比disc[u]小就说明u的子树中存在节点v可以回溯回u的一个祖先节点。

tarjan算法 c++实现

#include<iostream> 
using namespace std;

int adj[550][550];
int parent[550],disc[550],low[550];
bool visit[550];
bool ap[550];
int n;

void dfs(int u){
    static int time = 0;
    int children = 0;
    visit[u] = true;
    disc[u] = low[u] = ++time;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(adj[u][i] != 0){
            int v = i;
            if(!visit[v]){
                children++;
                parent[v] = u;
                dfs(v);
                low[u] = min(low[u],low[v]);
                if(parent[u] == -1 && children>1){
                    ap[u] = true;
                }
                if(parent[u] != -1 && low[v] >= disc[u]){
                    ap[u] = true;
                }
            }
            else if(parent[u] != v){
                low[u] = min(low[u],disc[v]);
            }
        }    
    }
}

void init(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        parent[i] = -1;
        visit[i] = false;
        ap[i] = false;
        disc[i] = 0;
        low[i] = 0;
    }
}

int main(){
    int m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        adj[u][v] = 1;
        adj[v][u] = 1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(ap[i])
           cout<<ap[i]<<endl;
    }
}

　　最后说一下算法的时间复杂度为O(V+E)。dfs的时间复杂度也是O(V+E)。

 

PAT-L013 红色警报  可用这种方法解决。

References:https://www.geeksforgeeks.org/articulation-points-or-cut-vertices-in-a-graph/