【学习记录】高等数学

well,this is advanced mathematics

9月27日 1st 高等数学

心血来潮，一时兴起自荐了高数课代表，算是对过去十八年对数学的亏欠的弥补。今天老师从有限的数学讲起——初等数学，然后从有限到无限——高等数学。他起先帮助我们复习了一些初等数学的概念，诸如函数以及各类函数。函数表达形式有：图表、解析式、隐函数、参数方程。五大初等函数分别是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些初等函数是能通过有限次加减乘除或复合函数运算得来，并且能用一个表达式所表达，故被称为初等函数。还有一种特殊的函数——分段函数，例如 y=｜x｜，这其实是分段函数，分为x、0、-x三个表达式（分段函数并不意味着它是不连续的，只是不同部分表达式不同）。此外，我还接触到了一个极其特殊的函数——狄利克雷函数（dirichlet function），有些地方会给出这个函数的图像（一条y=1，一条y=0），但实际上，这是一个无法画出来的函数，因为它处处不连续，实际上每个点之间都是断点。

讲完了这些函数以后，老师开始讲极限了。所谓高等数学，是一个从有限到无限的进化，故为高等。大学三大数学科目——高等数学、线性代数、概率统计。

我们的极限，要从数列的极限开始，像这样一个数列｛a_n｝=｛0.9，0.09，0.009，......，0.00...009，......｝，对于它，我们以前n项的和来构造一个新的数列｛S_n｝=｛0.9，0.99，0.999，......，0.9999...99，......｝，这个数列有无限多个数，假如我们把各项在数轴上画出来，我们可以见到，一个个点正在向“1”步步逼近。｜x-y｜这表示x和y之间的距离，正如绝对值一开始的意义一般，表示某个数到原点的距离。我们拿S去减1，可以想见，这个差在逐渐变小，这个距离在逐渐变小，由于我们有无限多个S，于是这个距离可以无限变小，最终我们称S将收敛于“1”。（这部分我还漏了点东西，我们一开始求S时，用的是等比数列部分求和公式，但我们一步步走下去，最终能将部分、有限的公式推广到无限求和上去。这就是一个从有限到无限的过程。）

关于这个极限，我们还有一个定义，有数列对｛Xn｝于所有的ε>0（无论ε有多么小），存在N（某下标），当n>N时，有Xn到b的距离小于ε，则b为数列｛Xn｝的极限。任意小是什么意思？无论多么小，还能更小。我们的N是唯一的吗？不唯一，在N之后的数同样可以是N。基本上，现在我们找极限有这样一个过程，找N，解绝对值不等式，中途会用到放缩、取整（中括号）的方法。

暂时写到这里吧。

补充：证明任意函数可表示为一非负函数一非正函数——注意到绝对值x+x非负，x-绝对值x非正

证明可表示为一奇一偶——注意到fx+f-x为偶，fx-f-x为奇

去掉ln的方法：非ln数变成e的指数，ln数去掉ln