[TCO 2012 Round 3A Level3] CowsMooing (数论,中国剩余定理,同余方程)

题目:http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12083

这道题还是挺耐想的(至少对我来说是这样)。开始时我只会60%的算法,在借鉴了巨神zhx的代码并查阅了官方题解后才终于懂了点了。

两两互质的情形

首先,考虑简化的情形:若模板i的长度为li,我们加上限制,即所有模板的长度两两互质。

假设当前位置x对应第i个模板的位置为ai,当且仅当,而li是两两互质的,由中国剩余定理,x在范围内有唯一解。这样,这个问题就被秒掉了。

一般情形

下面考虑一般情形。

假设有两个模板i和j,,我们可以考虑将正整数集合中的元素按照模k的余数分成k个子集,设b属于集合Mt当且仅当b mod k = t。那么,如果x属于集合Mt,则有ai mod k = aj mod k = x mod k = t,因为ai = x mod li,而k | li。这样,我们实际上只需要考虑模k相同的(ai, aj),这相当于将模板i拆成了li / k个子模板,模板j拆成了lj / k个子模板,而gcd(li / k, lj / k) = 1,所以我们可以用前面的互质情形解决。

最终的解法

因为50以内的合数x必须满足,其中P为素数集合,所以我们可以考虑将小于sqrt(50)的素数和不小于sqrt(50)的素数分开考虑。小于sqrt(50)的素数只有2,3,5,7四个,而32 * 27 * 25 * 49很小,所以我们可以直接将li为2,3,5,7几个素数乘积的模板i扩展合并为一个新的长度为32 * 27 * 25 * 49的新模板。然而,除开这些模板,另外的模板和这个新模板的长度并不一定互质,如长度为22的模板。但是,我们注意到,对于其他在50以内的合数,即存在大于sqrt(50)的素因子的合数,它们含有的小于sqrt(50)的素因子不会太多,因为11 * 5 > 50,而11仅能和一个3相乘,或者和两个2相乘,再多一点就爆出50了。而且注意到,对于这种合数,大于sqrt(50)的素因子有且仅有一个,因为sqrt(50) * sqrt(50) = 50。所以,若模板i满足p | li,p > sqrt(50),则我们将它扩展为l' = 12 * li的新模板。这样我们得到了新的模板以替换旧模板,而它们的长度有且仅有两种:32 * 27 * 25 * 49,及2 * 2 * 3 * p,其中p为大于sqrt(50)的素数。它们的最大公因数显然是2 * 2 * 3,而它们拆分后的新长度显然是两两互质的。
posted @ 2013-12-31 22:27  jason_yu  阅读(580)  评论(0编辑  收藏  举报