欧拉定理
欧拉定理
前置芝士
欧拉函数\(\varphi(n)\) 表示 \(1\)~\(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数
数学定义如下
欧拉函数是积性函数,即对于 \(\forall n,p\),若\(gcd(n,p)=1\),则有\(\varphi(np)=\varphi(n)*\varphi(p)\)。
显然,对于任意质数 \(p\),有
而对于任意整数,不难给出一个计算公式如下
若算数基本定理即 \(n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\) 成立,则有
证明:容斥原理自己想(雾
定义
\(\forall~a~,~m~\in~Z^+~,\gcd(a,m)=1\),则一定满足\(~a^{\varphi(m)}~\equiv~1~(mod~m)~\)。该定理被称作欧拉定理。
推导
记 \(x_i\) 为第i个与m互质的数,则共有\(\varphi(m)个x_i\)
设 \(p_i~=~a\times x_i\)
引理一:
\(\{p_i\}\) 间两两模 \(m\) 不同余,\(\{x_i\}\) 间两两模 \(m\) 不同余。
证明:
先证\(\{x_i\}\)间两两模 \(m\) 不同余:
因为\(~\forall~i~\in~[1,\phi(m)]~,~x_i~<~m~\),故
又\(~\forall~i,j~\in~[1,\varphi(m)],i~\neq~j~\)都有\(~x_i~\neq~x_j~\)。于是
所以\(\{x_i\}\)间两两模 \(m\) 不同余
再证\(\{p_i\}\)间两两模 \(m\) 不同余:
反证法,若存在一对\(~i,j~\in~[1,\varphi(m)]~,~i\not=j~,p_i~\equiv~p_j~(mod~m)~\),则
根据\(\{x_i\}\)间两两模\(m\)不同余,产生矛盾,于是\(\{p_i\}\)间两两模\(m\)不同余
证毕
引理2:
\(\forall~i~\in~[1,\varphi(m)]~,~p_i~\)与 \(m\) 互质。
证明
写出\(m,a,x_i,p_i\)的唯一分解式:
则 \(\forall~i~,c_i~\neq~0~\)都有\(d_i=e_i=0\),于是\(d_i+e_i~=~0\)。
于是 \(\forall~i\in[1,\varphi(m)]~,~p_i~\)与 \(m\) 互质。
证毕
根据上述引理,可得所有 \(p_i\) 的模\(m\)的解的集合与 \(\{x_i\}\) 相等,于是他们的积模\(m\)的值也相等。
于是有
于是有 \(a^{\varphi(m)}~\equiv~1~(Mod~m)\) 。证毕。
(部分资料来自这里)