小白鼠试毒药

题目如下：

实验室里有1000个一模一样的瓶子，但是其中的一瓶有毒。可以用实验室的小白鼠来测试哪一瓶是毒药。如果小白鼠喝掉毒药的话，会在一个星期的时候死去，其他瓶子里的药水没有任何副作用。请问最少用多少只小白鼠可以在一个星期以内查出哪瓶是毒药：
               a. 9
               b. 10
               c. 32
               d. 999
               e. 以上都不对

解：

假如需要N只小白鼠，根据题目，N只小白鼠必须都是在第一天喝药，这样才能保证在一个星期的时候检测出结果。当然，最“笨”的方法（不过显然不是最后的答案，因为答案要求是最少的数目）就是999只小白鼠，一只喝一瓶，七天以后死的那只对应的瓶子里的药就是毒药；如果七天后都没死，第1000瓶就是毒药。但这种方法没有充分利用条件，即“没有任何副作用”。没有任何副作用，就是说除喝了无副作用的药不会死之外，一般的药和毒药混在一起喝也不会影响毒药的作用。其实，完全应该想到可以让每只小白鼠喝若干瓶，每瓶也可以被若干只小白鼠来喝，通过七天后死了哪些小白鼠可以计算出到底哪瓶里有毒药。再看一下选项，B是10，C是32，似乎跟二进制多少有些关系（2^10=1024≈1000，32=2^5）。
 
    不多分析了，还是看具体方法吧。
 
    先将1000个瓶子编上号，1-1000，然后用二进制表示瓶子的编号，这需要10个二进制位组成的二进制数来表示。由于每个二进制位可以存0或1，所以10个二进制可以表示2^10=1024个数，完全可以表示1000个瓶子（但9个二进制位只能表示2^9=512<1000，不能表示1000个瓶子）。
 
    个人感觉二进制表示是本题最关键的部分。那为什么要用二进制表示呢？想象一下，七天以后对于每只小白鼠要么没喝到毒药还活着，要么喝到毒药死了，只有这两种状态，正好对应于二进制的0和1。这样看来，只需要10只小白鼠，每一只可以应于一个二进制位。为了便于描述，不妨给小白鼠编号，1-10，对应于从高位到低位的10个二进制位。
 
    下一步要确定每只小白鼠需要喝哪些瓶药，或者反过来说，每瓶药应该被哪些小白鼠喝。任选一瓶药，由于编号是用二进制表示的，所以对于每一个二进制位，如果是1，则对应位置的小白鼠就喝这一瓶，否则就不喝。比如对于1001010101这个二进制数（十进制是597），从最高位数起，第1、4、6、8、10位上是1，所以这一瓶就由编号为1、4、6、8、10的小白鼠来喝。这样，所有1000瓶药就可以分给10只小白鼠来喝。
 
    最后一步要根据死亡的小白鼠的编号来确定毒药的编号。假如七天以后编号为1、4、6、8、10的小白鼠死了，而其他小白鼠还活着，就说明第1、4、6、8、10是1、其余位是0（二进制为1001010101，十进制为597）的这一瓶是毒药。可以想象一下（其实数学上称之为反证），假如毒药不是这一瓶而是另外一瓶，比如0000100001（即第33瓶）是毒药，那么根据七天前喝药的步骤，这一瓶药应该是编号为5、10的小白鼠来喝，七天以后死亡的应该是编号为5、10的小白鼠，而不是编号为1、4、6、8、10的小白鼠。因此，按照以上方法就可以确定毒药所在瓶的编号。
 
    不知您明白了吗？