【每日一题】20250408

有 \(6\) 个相同的球，分别标有数字 \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，从中有放回地随机取两次，每次取 \(1\) 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 \(1\)”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 \(2\)”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 \(8\)”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 \(7\)”，则
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
(13分)
\(\hspace{0.7cm}\)已知函数 \(f(x)=a(e^{x}+a)-x\)．
\(\hspace{0.7cm}\)（1）讨论 \(f(x)\) 的单调性；
\(\hspace{0.7cm}\)（2）讨论 \(f(x)\) 的零点个数；
\(\hspace{0.7cm}\)（3）证明：当 \(a>0\) 时，\(\displaystyle f(x)>2\ln a+\frac{3}{2}\)．